丢番图倒数二

以下方程中的x、y、n均为正整数。 $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}.$$ $n=4$时，上述方程恰好有三个不同的解： $$\frac{1}{5}+\frac{1}{20}=\frac{1}{4}.$$ $$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{1}{4}.$$ $$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}.$$ 可以验证当$n=1260$时，共有113组不同的解，这也是解的总数超过一百的最小n值。 最小的、能使上述方程有四百万个以上不同解的n是多少？ 注：本题是第108题的困难版。

本题难度:

解答

与第108题的做法相同，需要找到能令$n^2$有八百万个以上约数的最小的n。注意到 $$8000000=50\times 25\times 80\times 80\approx 49\times 25\times 81\times 81=7^2\times 5^2\times 3^8,$$ 因而同样可以猜测 $$n^2=2^6\times 3^6\times 5^4\times 7^4\times 11^2\times 13^2\times 17^2\times 19^2\times 23^2\times 29^2\times 31^2\times 37^2,$$ 此时 $$n=2^3\times 3^3\times 5^2\times 7^2\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37=9350130049860600,$$ 的确是所需的答案。 本题无需编程。