丢番图倒数一

以下方程中的x、y、n均为正整数。 $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}.$$ $n=4$时，上述方程恰好有三个不同的解： $$\frac{1}{5}+\frac{1}{20}=\frac{1}{4}.$$ $$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{1}{4}.$$ $$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}.$$ 最小的、能使上述方程有1000个以上不同解的n是多少？ 注：本题是第110题的简单版。

本题难度:

解答

显然$x,y>n$，否则原方程无法成立。将其写作$x=n+a, y=n+b$，则原方程可以转化为 $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n} \quad\Leftrightarrow\quad n(x+y)=xy \quad\Leftrightarrow\quad n(2n+a+b)=(n+a)(n+b) \quad\Leftrightarrow\quad n^2=ab.$$ 因此只需找到最小的能令$n^2$的约数超过2000个（即1000对）的n。注意到$2000=5^2\times 80$，接近于 $5^2\times 81=5^2\times 3^4$，因此有理由猜测 $$n^2=2^4\times 3^4\times 5^2\times 7^2\times 11^2\times 13^2，$$ 该数有$(4+1)\times(4+1)\times(2+1)\times(2+1)\times(2+1)\times(2+1)=5^2\times 3^4$个约数，此时 $$n=2^2\times 3^2\times 5\times 7\times 11\times 13=180180,$$ 的确是正确的结果。 本题无需编程。