19. 隐式方法

数值分析



周维祺

逆欧拉法

逆欧拉法的公式

  • 欧拉法：

  • 逆欧拉法：

  • 显式方法：在第步只用到第步的结果，可直接计算

  • 隐式方法：在第步还用到第步以后的结果，一般需迭代计算

迭代求解







  • 一般地：，

迭代过程的收敛性

  • 若存在常数，使对任意, 下式都成立


  • 则有
    即得

  • 充分小（）时，上述过程收敛

关于的Lipschitz条件

存在常数，使对任意, 下式都成立

该条件对欧拉法和逆欧拉法收敛具有充分性

混合方法

法和梯形法

  • 令，取欧拉法和逆欧拉法的加权平均即法

  • 法：

  • 取，即梯形法

  • 相当于用梯形公式近似计算

练习

设存在且连续，仿照对欧拉法局部截断误差的估计，
利用泰勒展开，计算梯形法精度的阶数

解答



  • 泰勒展开：


  • 代入得，即阶精度

  • 类似地可证满足关于的Lipschitz条件时，该法以速度收敛

预测校正法

  • 交替使用显式和隐式方法；预测：显式法；校正：隐式法

  • 例：逆欧拉法中第一步并不是任取初值，而是先用欧拉法计算得到初值（预测），再作迭代（校正）

  • 也可以改用法尤其是梯形法校正

  • 常用于多步法以降级计算量

稳定性和稳定域

稳定性的概念

  • 稳定：若计算中有误差，则其它节点的误差不超过

  • 一般考察数值方法解，时的情况来了解其稳定性

  • 稳定性既和有关，也和步长有关，只考虑

  • 否则时，，方程本身不稳定

稳定域

例子

  • 求欧拉法的稳定域



  • 稳定域：

练习

求梯形法的稳定域

解答







  • 稳定域：

-稳定

  • 若稳定域包含左半平面，则称该方法-稳定

  • -稳定表示该方法的稳定性对步长没有要求

  • 例：梯形法是-稳定的方法

小结

  • 逆欧拉法的公式和迭代计算

  • 梯形法的概念和局部截断误差

  • 预测校正法

  • 稳定域的计算和-稳定性