例子

• 人口增长：； 解：
  
  

• 成对增长：； 解：；
  在有限时间内就能增长到无穷
  
  
  

• logistic曲线：；解：

解的局部存在性

• 若相对于连续，则
  
  

• 一般可证满足一定条件时，解局部存在（在的某个邻域上存在）
  
  

• 相关定理：Picard-Lindelöf, Peano, Caratheodory 等
  
  

• 拓展阅读：Gronwall不等式、解对初值的敏感性

研究方法

• 解析法：讨论解的存在性、唯一性、各种性质（光滑性、奇异性等）
  
  

• 数值法：找出近似解，解法的收敛性、稳定性
  
  

• 找出在上的近似解
  
  

• 计算只用到上一步的信息：单步法，否则称为多步法

设定

• ，在上求解
  
  

• 将区间等分，记
  
  

• 记 ，
  
  

• 记

例子

• ，精确解：
  
  

• 
  
  

练习

取，借助计算器，分别计算以下两个方程在处的解

解答

• 精确的通解分别是
  
  

• 满足的特解都是，因此
  
  

• 计算得分别约等于和
  
  

• 第二个方程实际解得的是时的近似解

证明的主要步骤

• 令为第步的误差
  
  

• 泰勒展开：
  欧拉法：
  
  

• 
  
  

证明的主要步骤

• 
  
  

• 
  
  

• 
  
  

• 时，误差

局部截断误差和精度

设有数值方法

则称

为局部截断误差，若误差为阶，则称该法具有阶精度

小结

• 常微分方程数值解法的一般概念
  
  
• 欧拉法的公式、计算
  
  
• 欧拉法的收敛性和精度
  
  
• 局部截断误差和精度