不动点迭代

• 若令，则牛顿法可以写作
  
  

• 若是不动点，则
  
  

• 即

不动点迭代

• 一般地，若时有极限且连续，则显然
  
  

• （思考：为什么）
  
  

• 极限是的不动点

例子和反例

• 例子：
  
  
• ，取
  
  
• 反例：
  
  

练习

• 验证以下映射在给定的区间上是否是压缩映射
  
  

• ,
  
  

• ,
  
  

• ,

利用导数作判断

• 若，则利用中值定理有
  （存在的情况，所以不能移除）
  
  
  

• 若是压缩映射，则取极限有
  

唯一性

• 设都是不动点，则有
  
  

• 
  
  

• 上式成立当且仅当 (思考：为什么)
  
  

• 即 (思考：为什么)

存在性

存在性

• 
  
  

• 
  
  

• 是柯西序列，故极限存在
  
  

• 令， 则

小结

• 不动点法的定义
  
  
• 压缩映射的概念和判别
  
  
• 不动点定理