13. Gauss-Seidel法(高斯-塞尔德法)

数值分析



周维祺

Jacobi法:逐行拆解

  • Jacobi法:

  • 行:

  • 即:

  • 计算中的每一项,只使用了中的信息

GS法:逐行拆解

  • Jacobi法:

  • 计算时,已算出,利用这些信息:

  • GS法:

GS法

  • , 可逆,主对角线上不含

  • 为A的下三角部分 即

  • 为初值,记为第步所得的近似解

GS法的计算公式

GS法的策略

  • 完整公式:

  • 逐行公式:

  • 解方程即将依次解出并代入下一行的过程

例子和练习

为初值,用GS法计算以下线性方程组的近似解

计算两步,并给出误差向量的长度

解答





  • 准确解为,初值误差

解答

  • 余项:



  • 误差:

解答

  • 余项:



  • 误差:

Jacobi法与GS法的比较

上例中

Jacobi法 GS法
第1步误差
第2步误差

一般而言,GS法优于Jacobi法

GS法的收敛性:正定 收敛

正定
则对任意和初值,GS法对都收敛

(证明留作拓展思考)

GS法的收敛性:严格对角占优 收敛

行(列)严格对角占优
则对任意和初值,GS法对都收敛

(证明留待下节)

拓展阅读

  • SOR法(超松弛迭代)

  • CG法(共轭梯度法)

小结

  • GS法和Jacobi法逐行计算时的联系与差异

  • GS法的公式和计算

  • GS法收敛的充分条件