例子

• 孙子算经：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
  
  

• 
  
  

对角阵和单位阵

• 对角阵：主对角线以外的元素全为
  为对角阵，若时，，例：
  
  

• 单位阵：主对角线元素全为的对角阵，记作
  即

三角阵

• 上三角阵：主对角线以下的元素全为
  为上三角阵，若时，，例：
  
  

• 下三角阵：主对角线以上的元素全为
  为上三角阵，若时，，例：

初等变换1

• 交换矩阵中的两行/两列
  
  

• 记 为交换单位阵中第行和第行所得的矩阵
  
  

• 交换中第行和第行所得的矩阵即
  
  

• 交换中第列和第列所得的矩阵即 A

初等变换2

• 将第行（列）乘以常数
  
  

• 记 为将中第行乘以常数所得的矩阵
  
  

• 将中第行乘以常数所得的矩阵即
  
  

• 将中第列乘以常数所得的矩阵即

初等变换3

• 将第行（列）中每个元素都加上第行（列）中对应元素的倍
  
  

• 记 为将中第行中每个元素都加上第行中对应元素的倍所得的矩阵
  
  

• 将中第行加上第行的倍所得矩阵即
  
  

• 将中加上的倍所得的矩阵即

消元法的分解

• 与的逆也均为三角阵，因此其乘积也仍是三角阵
  特别地，时是下三角阵
  
  

• 对不断运用初等行变换和使之成为上三角阵
  
  

练习

作以下矩阵的三角分解：

练习

• 若、、分别是对角阵、下三角阵、上三角阵，证明
  
  

• 、都是下三角阵
  
  

• 、都是上三角阵
  
  

• 若D可逆，则也是对角阵

三角分解的唯一性

• 设可逆，是的一个三角分解
  
  

• 若是任意可逆对角阵，也是的一个三角分解

• 因此，一般要求三角分解中的主对角线是，此时该分解唯一

练习

• 若是主对角线元素都为的下三角阵，证明也是主对角线元素都是的下三角阵
  
  

• 若是上三角阵，证明也是上三角阵

唯一性的证明

• 设可逆，和是的两个三角分解，且的主对角线元素都为
  
  

• 
  
  

• 是对角阵，直接计算得其主对角线元素都为
  
  

直接作三角分解

• 例：
  
  

• 第一行：，，
  代入第一列：
  代入第二行，再代入第二列....

小结

• 消元法的概念
  
  

• 三种初等行变换所对应的矩阵及其逆矩阵
  
  

• 三角分解的两种计算方法
  
  

• 三角分解具有唯一性时的形式