收敛性的概念

• 给定上的函数,和其中的一些节点
  
  

• 数值积分公式 , 积分值：
  
  

• 记
  
  

• 若时，有，则称该数值积分公式收敛

场景

• 给定上的函数,和其中的一些节点
  
  

• 数值积分公式 , 积分值：
  
  

• 各观测值存在误差，实际计算的是
  
  

数值积分稳定的一个充分条件

• 
  
  

• 若, 且至少具有次代数精度
  
  

• 则 (思考：为什么)
  
  

• 此时该数值积分公式稳定(思考：为什么)

多项式插值的误差

给定，被拟合函数和插值多项式p(x)

若在上阶可导，则对任意:

都存在,使得

梯形法的误差

• 梯形法：取作多项式插值，再积分(牛顿-柯特斯公式)
  
  

• 对中的每个点，插值误差为
  
  
  

• 积分误差为
  

梯形法的误差

梯形法的误差

• 给定区间上的可积函数，令
  
  

• 令 ，其中
  
  

• 
  
  

• 在每个子区间上利用单个区间的误差估计上界：

中点法的误差

• 给定区间上的可积函数，令
  
  

• 中点法： 积分:
  
  

• 泰勒展开：
  
  

• 即：

中点法的误差

• (思考：为什么)
  
  

• (思考：为什么)
  
  

• 练习：计算
  
  

中点法的误差

• 给定区间上的可积函数，令
  
  

• 令 ，其中
  
  

• 
  
  

• 在每个子区间上利用单个区间的误差估计上界：

小结

• 收敛性的概念
  
  
• 稳定性的概念及其充分条件
  
  
• 梯形法和插值型积分公式的误差估计
  
  
• 中点法的误差估计