数值分析 周维祺
给定区间[a,b][a,b][a,b]，若对任意n次多项式p(x)p(x)p(x),数值积分方法I~p\tilde IpI~p都能给出∫abp(x)dx\int_a^bp(x)dx∫abp(x)dx的准确值，则称该方法I~\tilde II~在[a,b][a,b][a,b]上具有nnn次代数精度
∫ab∑k=0nckxkdx=∑k=0nck∫abxkdx\int_a^b\sum_{k=0}^nc_kx^kdx=\sum_{k=0}^nc_k\int_a^bx^kdx ∫abk=0∑nckxkdx=k=0∑nck∫abxkdx
若线性方法I~\tilde II~可以精确计算1,x,…,xn1,x,\ldots, x^n1,x,…,xn在[a,b][a,b][a,b]上的积分值 则I~\tilde II~至少具有nnn次代数精度
在区间[a,b][a,b][a,b]上利用梯形公式：
I~f=(b−a)⋅f(a)+f(b)2\tilde If=(b-a)\cdot\frac{f(a)+f(b)}{2} I~f=(b−a)⋅2f(a)+f(b)
∫abp(x)dx=b−a\int_{a}^bp(x)dx=b-a ∫abp(x)dx=b−a
I~p=(b−a)⋅1+12=b−a\tilde Ip=(b-a)\cdot\frac{1+1}{2}=b-a I~p=(b−a)⋅21+1=b−a
∫abp(x)dx=12(b2−a2)\int_{a}^bp(x)dx=\frac{1}{2}(b^2-a^2) ∫abp(x)dx=21(b2−a2)
I~p=(b−a)⋅a+b2=12(b2−a2)\tilde Ip=(b-a)\cdot\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}(b^2-a^2) I~p=(b−a)⋅2a+b=21(b2−a2)
∫abp(x)dx=13(b3−a3)\int_{a}^bp(x)dx=\frac{1}{3}(b^3-a^3) ∫abp(x)dx=31(b3−a3)
I~p=(b−a)⋅a2+b22≠∫abp(x)dx\tilde Ip=(b-a)\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\neq\int_{a}^bp(x)dx I~p=(b−a)⋅2a2+b2=∫abp(x)dx
求以下数值积分公式在[-1,1]上的最高代数精度
I~f=14(f(−1)+3f(−13)+3f(13)+f(1))\tilde If=\frac{1}{4}\left(f(-1)+3f(-\frac{1}{3})+3f(\frac{1}{3})+f(1)\right) I~f=41(f(−1)+3f(−31)+3f(31)+f(1))
令 Δx=(b−a)/n\Delta x=(b-a)/nΔx=(b−a)/n
令 a=x0<x1<…<xn=ba=x_0<x_1<\ldots<x_n=ba=x0<x1<…<xn=b，其中 xk=x0+kΔxx_k=x_0+k\Delta xxk=x0+kΔx
令pk(x)p_k(x)pk(x)为第kkk个拉格朗日插值基，即pk(xj)={1j=k0j≠kp_k(x_j)=\begin{cases}1 & j=k \\ 0& j\neq k\end{cases}pk(xj)={10j=kj=k
I~f=∫abp(x)dx=∑k=0nf(xk)∫abpk(x)dx⏟权值wk\tilde If=\int_a^bp(x)dx=\sum_{k=0}^nf(x_k)\underbrace{\int_a^bp_k(x)dx}_{\text{权值}w_k} I~f=∫abp(x)dx=k=0∑nf(xk)权值wk∫abpk(x)dx
n=1n=1n=1: 梯形公式 n=2n=2n=2: 辛普森法
求辛普森法在[a,b][a,b][a,b]上的最高代数精度
I~f=b−a6(f(a)+4f(a+b2)+f(b))\tilde If=\frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)\right) I~f=6b−a(f(a)+4f(2a+b)+f(b))
n+1n+1n+1个节点的插值型求积公式至少具有nnn次代数精度
nnn为偶数时，n+1n+1n+1个节点的牛顿-柯特斯公式至少具有n+1n+1n+1次代数精度
拓展阅读：n+1n+1n+1个节点的高斯求积公式至少具有2n+12n+12n+1次代数精度