例子

给定，如存在二次多项式,使得

则显然符合插值要求

例子

• 是二次多项式，有两个根，，因此
  ，为待确定的系数。
  
  

• ，因此
  
  

• 同理可以计算

拉格朗日插值多项式

• 一般地，给定，其中互不相同
  
  

• 存在多项式，满足
  
  

• 称为所对应的插值基
  
  

• 满足的插值要求

练习

• 给定数据
  
  

• 计算对应的插值基
  
  

• 计算对应的插值多项式

误差估计

给定，被拟合函数和插值多项式p(x)

若在上阶可导，则对任意:

都存在,使得

证明的主要步骤

• 考虑函数
  
  

• 有个零点，即 (思考：为什么)
  
  

• 因此
  
  

证明的主要步骤

• 令
  
  

• 考虑
  
  

• 有个零点，即 (思考：为什么)
  
  

• (罗尔定理)

证明的主要步骤

• 在之间有个零点
  
  

• 。。。
  
  

• 在之间有1个零点，设为
  
  

证明的主要步骤

• 
  
  

• 是次多项式，因此
  
  

• 是次多项式，因此
  
  

截断误差

小结

• 拉格朗日插值法的基本思想：构造插值基
  
  

• 拉格朗日插值基的公式
  
  

• 插值效果与节点位置和被拟合函数的光滑性都有关