2. 多项式插值

数值分析



周维祺

插值：给定一组数据 ，,找到函数,使得

例子：不同的拟合函数

  • 给定一组数据
    (0, 0)
    (1, 0.8415)
    (2, 0.9093)
    (3, 0.1411)
    (4, −0.7568)
    (5, −0.9589)
    (6, −0.2794)

插值的目的是预测，使用何种拟合函数，取决于原函数和问题本身。

具有一定光滑性的函数可用多项式拟合

定理：给定,其中各不相同，则存在唯一的次多项式，使得，对都成立。

证明的主要步骤

  • 设,则有

证明的主要步骤

  • (思考：何时有唯一解)

  • 有唯一解当且仅当没有非零解

证明的主要步骤



  • 此时都是的根

  • 矛盾（思考：为什么）

满足的次多项式称为给定数据所对应的插值多项式（唯一！）

例子和练习

  • 写出下一个数：2,3,5,7,?

  • 给定数据

  • 用多项式插值，并预测下一个数字 （练习）

  • ，

小结

  • 插值的概念

  • 对个不同节点处的个数据，存在唯一的次插值多项式