1. 基本概念

数值分析



周维祺

引入：科学计算具有广泛应用

科学计算中的误差：模型误差

模型问题很重要，但通常不是数学问题

科学计算中的误差：实施中的误差

  • 设备观测的误差

  • 计算精度的误差

  • 等等...

降低实施中的误差通常是工程问题

科学计算中的误差：数值方法的误差

  • 例子：计算

  • 算法：

  • 问题：

  • 问题：观测到的存在误差时，，以及如何变化？

数值分析：寻找准确度高、稳定性好、复杂度低、易于实施的数值方法

准确度的衡量：误差

  • : 精确值； : 测量值、数值方法的计算值

  • 绝对误差：；相对误差：

  • 一致性：; 实施中一般可以用

  • 有效数字：第一位非零数字起，直至末尾的位数。

稳定性的衡量：条件数

  • 相对:


  • 绝对:

练习

  • 用近似计算在处的值

  • 若实际输入值是，则绝对误差是？保留3位有效数字

  • 用该公式近似计算的情况，则绝对误差不超过？

  • 相对误差是？

复杂度的衡量：大O记号





  • 时间复杂度：当数据量增长时，所需运算次数的规模

  • 空间复杂度：当数据量增长时，所需存储单元的规模

例子

计算

例子：朴素方法

  • 计算每一项，再相加

  • 需要次乘法，次加法（思考：为什么）

  • 需要个存储单元储存系数，个存储单元储存的各次幂和结果（思考：为什么）

  • 时间复杂度；空间复杂度（思考：为什么）

例子：秦九韶法



  • 需要次乘法，次加法（思考：为什么）

  • 需要个存储单元储存系数，个存储单元储存中间步骤和结果（思考：为什么）

  • 时间复杂度；空间复杂度（思考：为什么）

本课程的主要内容：误差和稳定性分析

小结

  • 误差的来源

  • 绝对和相对误差、有效数字

  • 条件数的概念和含义

  • 复杂度的估计