12. 综合练习：特征分解和正交性

线性代数



周维祺

计算

  • 设

  • 验证是单位正交矩阵

  • 计算的特征值和特征向量

  • 将对角化

证明

  • 设是单位正交矩阵:

  • 验证对任意，的长度与相同

  • 验证的所有特征值都满足，但不一定是实数

  • 若，验证是的一个特征值

判断

  • 设是单位正交矩阵，有特征值，和对应的特征向量，指出下列论证中哪一步有错误，及其错误的内容：

  • 的特征值是，对应特征向量

  • 的特征值是

  • 正交，因此，从而，即
    (与前例矛盾！)

验证

  • 若都是单位正交矩阵，验证也是单位正交矩阵

  • 设列向量满足，验证是对称的单位正交矩阵

  • 验证是的重特征值，并找出它的另一个特征值和对应的特征向量

计算

  • 设三阶矩阵有特征值，对应的特征向量分别是，求

  • 设三阶实对称矩阵有特征值，对应的特征向量分别是，求

  • 设三阶实对称矩阵有特征值，对应的特征向量分别是，求

计算

  • 设，求

  • 设有特征值，求
    （提示：利用迹和行列式的值）