,

称为的内积

也记作,

给定 ，,

设A是实矩阵，是实向量，计算

计算和

是的长度，记作

, 是的夹角

双线性（实）：

正定性：
对任意都有, 且等号仅在时成立

将投影到的方向上，用表示两者的夹角

取,则

长度：

若两两正交且长度都为1的向量是的一组基向量，则称其为的一组单位正交基向量

若可以表示为，则

设

将表示为的线性组合

若方阵的列向量两两垂直，则称为正交矩阵

例：

若是正交矩阵，则是对角阵，其对角线上第个元素是中第列长度的平方

若是正交矩阵，且中每一列的长度为，则称为单位正交矩阵

例：

若是单位正交矩阵，则，即

将表示为,的线性组合

令为以为列向量的矩阵，则欲求

原点不变，重新建立直角坐标系。例如：在平面上，将坐标系逆时针旋转45度

原坐标系下的,，在新坐标系下坐标分别是

原坐标系下的在新坐标系下是

给定线性无关的，可以用Gram-Schmidt正交化过程计算的张成中的一组单位正交基

，对，依次取

练习，

设是实对称矩阵互异的特征值，分别是对应的实特征向量 （存在，因是实数）

即，但，因此

(特征值均为实数、可以对角化：略)