给定的矩阵A,若存在非零向量, 以及（可为）满足，就称为的一个特征值，是所对应的特征向量

例

例

若为的一个特征值,是所对应的特征向量，则对任意非零实数，也都是的特征向量，特征值也是。若可逆，则还有，即也是的特征向量，对应的特征是

若为的一个特征值,是所对应的特征向量，则对任意不全为的实数，也都是的特征向量，特征值也是

若是的两个不同的特征值，分别是所对应的特征向量，那么线性无关

若，则，是非零向量

是关于的次多项式

三角阵的特征值就是其主对角线上的元素，和的特征值相同，的特征值是的每个特征值加

计算的特征值

计算以下矩阵的特征值

令，称为的特征多项式

该特征多项式在上总是有个根（含重根），其根的重数称为对应特征值的（代数）重数

若特征多项式有个互不相同的根，且特征向量都是实向量，则这些实向量构成的一组基

若是重特征值，则其有不超过个(几何重数)线性无关的特征向量

的特征值是，设分别是对应的特征向量

有二重特征值是，设是一个特征向量

特征值的代数重数为,几何重数为

计算以下矩阵的特征向量

若是的特征值，则

设是的特征多项式，则

，因此
注：此处按第一行对作Laplace展开可得前的系数是

类似地，可得（迹）

若矩阵每个特征值的代数重数都=几何重数，则可以写作，其中是特征方程的全部根（即的特征值）， 可逆，且中的第列是的一个特征向量

，即，和中的第列就是中的第列乘以

的特征值是，特征向量分别是

对角化的形式不是唯一的

改变中特征值的顺序，则中列的顺序也需要改变，例：

对角化的形式不是唯一的

改变中列向量的长度，则中列的长度也需要改变，例：

若可以对角化为，则

若是多项式，则

Cayley-Hamilton定理：若是的特征多项式，则

若都是对角阵，则显然

若可以被同一个对角化，即,，则

若存在可逆矩阵，使，则称相似，相似矩阵的特征多项式相同

注意相似与等价的区别

特征值与特征向量的概念及其计算

特征多项式及其应用，特征值的和与积

对角化的概念