7. 逆矩阵

线性代数



周维祺

单位矩阵

  • 主对角线元素全为,其余元素全为的矩阵称为阶单位矩阵，一般记作 (教材上记作)



  • 对任意和任意矩阵都成立

逆矩阵

  • 给定的矩阵，若，则互为逆矩阵，可以写作以及

  • 逆矩阵是唯一的，方阵才有逆矩阵，非方阵只能有左逆或右逆

  • ，因此转置的逆矩阵也可以记作

  • 若A的逆矩阵存在，则称A为可逆矩阵或非奇异矩阵，否则称其为不可逆矩阵或奇异矩阵。

例子



  • 不可逆



例子



逆矩阵就是逆映射的表示

可逆 双射 满秩

练习

  • 设是所有元素都为的方阵，判断是否可逆

  • 计算

  • 计算

练习



  • 计算

  • 计算

逆矩阵与线性方程组的解

  • 设有线性系统 ，且可逆，则两边同乘以即得

  • 例：孙子算经-今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

伴随矩阵

  • 对矩阵，删去其第行和第列后得一的矩阵，其行列式值即的余子式，即的代数余子式

  • 令

  • 称为的伴随矩阵

伴随矩阵与逆矩阵

，因此

验证



  • 当时，上式就是按第行作拉普拉斯展开

  • 当时，例，是 (第到行与的第到行相同，前两行相同)按第行作拉普拉斯展开，因此为。

例子





练习

计算下列矩阵所对应行列式的值、及其伴随矩阵和逆矩阵

克莱默法则

  • 设有线性系统，其中是的可逆矩阵。

  • 记为把中的第列替换为（其余列不变）所得到的矩阵。

  • 则有

例子

  • 例：孙子算经-今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？




练习

  • 用克莱默法则求解下列线性系统



小结

  • 逆矩阵的概念和唯一性

  • 可逆满秩双射行列式的值不为线性方程组具有唯一解

  • 用伴随矩阵求逆

  • 克莱默法则