6. 秩和行列式

线性代数



周维祺

矩阵的秩

  • 给定的非零矩阵

  • 列向量组的秩称为的列秩

  • 行向量组的秩称为的行秩

  • 显然列秩，行秩

行秩=列秩

恒成立

例子

  • ，行秩列秩

  • ，行秩列秩

  • ，行秩列秩

满秩

  • 给定的非零矩阵，记其秩为

  • 若，则称是满秩的

  • 给定的非零矩阵，记其秩为

  • 若，则称是行满秩的
    若，则称是列满秩的

满秩矩阵的性质

  • 若的非零矩阵是满秩矩阵，那么



  • 有唯一解

  • 的列向量是上的一组基向量

满秩：是上的双射

例子

  • ，满秩

  • ，不满秩：

  • ，满秩

秩和矩阵运算

  • 若都是的满秩矩阵，则也是满秩矩阵

  • 若是的矩阵，是的矩阵，则

  • 若与,无关联，例：

练习

  • 分别指出的秩，并计算的秩



二阶矩阵的行列式

  • 给定的矩阵

  • 其行列式的值为，记作

  • 满秩

  • 列向量（或行向量）围成的平行四边形的面积

三阶矩阵的行列式

  • 给定的矩阵，其行列式的值


  • 满秩
    列或行向量围成的平行六面体的体积

代数余子式

  • 给定，假设阶矩阵的行列式已作定义

  • 对的矩阵，删去其第行和第列后得一的矩阵，记其行列式的值为

  • 也叫的余子式，则称为的代数余子式

阶矩阵的行列式：拉普拉斯展开

可以任选一行或一列作展开

例子

  • ，按第一行展开


例子

  • ，按第一列展开


宜选择较稀疏的行/列/子块作展开

练习

  • 计算以下行列式的值



练习

  • 计算以下行列式的值



满秩 行列式不为

一些能方便计算的性质

  • 三角阵行列式的值是其主对角线元素的乘积

  • 取转置，行列式的值不变

  • 存在线性相关的行/列，则行列式的值为。包括但不限于：
    存在全为0的行/列;
    存在某一行/列是另一行/列的若干倍
    (例：存在完全相同的两行/两列)
    存在某些行/列相加或加权相加后等于另一行/列

求行列式的值与矩阵乘法可以交换顺序

初等行变换与行列式的值

  • 选定两行/两列交换，行列式的值改变符号

  • 将某一行/列都乘以，则行列式的值也乘以

  • 将某一行/列加上另一行/列的倍，则行列式的值不变

例子

  • 计算

  • 第二行的值加上第一行的倍，得，行列式的值不变

  • 第三行的值加上第一行的倍，得，行列式的值不变

例子

  • 第三行的值加上第二行的倍，得，行列式的值不变

  • 将该三角阵主对角线元素相乘，得，即行列式的值
    手动计算较大矩阵行列式的值时比拉普拉斯展开更易于使用

练习

  • 运用前述行列式的性质计算以下行列式的值

子式

  • 给定的矩阵，任选行列交汇处的元素形成的子矩阵的行列式的值称为的一个阶子式

  • 若选取的行号与列号相同，则称为的一个阶主子式，若行号与列号都是，则成为阶顺序主子式

  • 例：子式主子式顺序主子式

练习

  • 设是的矩阵，秩是，举例或说明理由：

  • 中是否存在非零的阶子式，是否存在等于零的阶子式

  • 中是否存在非零的阶子式，是否存在等于零的阶子式

  • 中是否存在非零的阶子式，是否存在等于零的阶子式

排列和逆序数

  • 将按一定顺序从左至右排成一行，称为这个数的一个排列

  • 设是这个数的一个排列，若，且，就称是该排列中的一个逆序对。 若一个排列中逆序对的总数是奇数，就称它是奇排列，否则称为偶排列

  • 例：中的逆序对是，是奇排列
    例：中的逆序对是，是偶排列

行列式的另一种定义


  • 其中是的全部排列组成的集合，是中逆序对的总数，表示矩阵中第行第列的元素

  • 例：

小结

  • 秩的定义和性质，满秩的概念

  • 行列式的定义和性质

  • 行列式的计算