线性组合与映射

• 给定一组维向量
  
  

• 对任意一组系数，有线性组合
  
  

• 把系数视作维向量，就得到的映射关系

例子

• 给定一组维向量
  
  

• 对任意一组系数，有线性组合
  
  

• 从而有的映射关系

矩阵

• 给定一组维列向量，把这些列向量依次排列形成的行列的（实）方阵称为一个的（实）矩阵，全体行列（实）矩阵组成的集合可以记作
  
  

• 一般用大写字母(常用：)表示矩阵，用表示其中第行（自上而下）第列（自左至右）的元素。
  
  

• 所有元素全为的矩阵称为零矩阵

矩阵与列向量的乘法

• 给定矩阵，设其列向量分别是
  
  

• 给定列向量
  
  

• 定义与的乘积为线性组合所表示的向量

练习

• 计算下列矩阵与列向量的乘法
  
  

线性方程组的矩阵记号

• 孙子算经：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
  
  

• 
  
  

• 上式可以写作:

矩阵的转置

• 给定矩阵，设其列向量分别是
  
  

• 将其行和列互换，得到以为行向量的的矩阵，称为的转置，记作
  
  

• 显然

行向量与矩阵的乘法

• 给定矩阵，和的行向量
  
  

• 定义与的乘积为
  
  

• 的行向量可以与的矩阵作乘法，若，则的行向量不能与矩阵作乘法

练习

• 计算下列矩阵与列向量的乘法
  
  

对称矩阵

• 满足的矩阵称为对称矩阵
  
  

• 显然对称矩阵的行数和列数相同
  
  

• 给定的矩阵，其左上角到右下角的元素称为的主对角线
  
  

• 对称矩阵中的元素关于主对角线对称

例子

• 是对称矩阵，不是对称矩阵
  
  

• 的主对角线是

练习

是否存在非零的的矩阵和非零的列向量，使得两者的乘积是向量?

即是否存在不全为，以及不全为，使得下式成立？给出例子或说明理由

练习

• 以下两个映射是否是单射？一般地，何时是单射？
  
  

• 
  
  

小结

• 矩阵及其记号
  
  

• 矩阵与列向量的乘法及其意义
  
  

• 转置和对称矩阵