设是中一组线性相关的向量

存在不全为的实数使得

不妨设（否则可以交换的顺序）

则有

若是中一组线性无关的向量，且对任意非零，都线性相关，则称是上的一个最大线性无关集

例子：和各自都是上的最大线性无关集

反例：不是上的最大线性无关集
反例：不是上的最大线性无关集

若是中的最大线性无关集，则

若是中的最大线性无关集，则称是中的一组基向量

设
是两个不同的线性组合，则

从而 ， 矛盾

设有一组向量，且线性无关

若对任意非零, 都线性相关，则称为向量组的秩

向量组的秩=中最大线性无关集中元素的数量

若中向量线性无关(即)，则也可以称是满秩的

求以下向量组的秩，并找出其中所有的最大线性无关集：

给定一组向量，设是中的一个最大线性无关组

则中每个向量都可以写成的一个唯一的线性组合

中向量的所有线性组合称为的张成或的像

显然的张成与的张成相同

给定两组向量，分别记其秩为

若中每个向量都能写成中向量的线性组合，则

若中每个向量也都能写成中向量的线性组合，则称这两个向量组等价，显然此时

若等价，则它们的张成相同

孙子算经：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

上式可以写作:

给定线性方程组 ，若在的张成中，且线性无关，则有唯一解

例：

给定线性方程组 ，若在的张成中，且线性相关，则有无穷多解。集合中的最大线性无关组称为齐次方程的基础解系

例：

给定线性方程组 ，若不在的张成中，则无解

例：

用现代的记号和视角来理解和表达上述运算（第2章）

判别向量组是否线性相关的方法（第1章）

这两章的知识基本各自独立

理解本节的动机

最大线性无关集及其性质

线性方程组解的结构