上的向量

• 有序实数组
  
  

• 列向量 ，行向量：

向量的转置

• 转置：行列互换
  
  

• 例：
  
  

• 显然

向量的基本运算:加法

加法：

向量的基本运算：数乘

数乘：

向量和向量空间的一般概念

• 具备特定加法和数乘结构的集合称为（实）线性空间
  
  

• 线性空间中的元素称为向量
  
  

• 例子：一元次多项式组成的集合
  
  

• 例子：上的连续函数
  
  

本课程中的向量和向量空间

• 维（实）欧式空间，记作（欧式：欧几里德）
  
  

• 中的元素（向量）是由个实数组成的有序实数组，写作列向量
  
  

• 向量间可以作加法，向量与数可以相乘
  
  

• 零向量：所有分量(元素)均为的向量，一般直接写作

线性组合

• 给定中的向量，和一组实数，称为的一个线性组合
  
  

• 若存在非零实数使得，
  则中的任意一个向量都可以表示为其它向量的线性组合
  
  

• 一般地，若且，
  则可以表示成其它向量的线性组合
  
  

练习

• 设
  
  
  

• 将表示为的线性组合

线性相关与线性无关

• 给定中的向量
  
  

• 若存在不全为零的实数使得，
  则称线性相关
  
  

• 反之，若当且仅当，则称线性无关

例子

• 与线性无关
  
  

• 
  
  

例子

• 、、线性相关
  
  

练习

• 设
  
  
  

• 是否线性相关？
  
  

• 是否线性相关？

练习

• 判断以下两组向量是否线性相关
  
  

• 
  
  

• 
  
  

两个简单的结论

• 设是一组向量
  
  

• 若，则中的向量线性相关
  
  

• 若，且，则中的向量线性相关
  
  

小结

• 向量的概念
  
  
• 向量的基本运算
  
  
• 线性组合、线性相关、线性无关的概念