4.6 抛物面

解析几何



周维祺

抛物面的概念

由上述标准方程所表示的曲面

+：椭圆抛物面
-：双曲抛物面

与坐标平面的截面

  • 椭圆抛物面：

  • 或：抛物线

  • ：椭圆 ()

  • ：原点

与坐标平面的截面

  • 双曲抛物面：

  • 或：抛物线

  • ：双曲线 ()

  • ：两条相交直线 ()

练习

  • 给出对称点、对称中心的定义

  • 椭球面、双曲面、抛物面是否有对称中心?

  • 若有，指出其对称中心，若无，若无说明理由

抛物面是无心二次曲面

有心二次曲面：有对称中心，例：椭球面、双曲面

无心二次曲面：无对称中心，例：抛物面

练习

已知点集中每个点到原点的距离都是到平面的距离的倍

分别指出取不同值时是何种曲面

解答

  • 的方程：

  • 时，该式齐次：锥面轴原点

解答

  • 的方程：

  • 时，是抛物面

  • 时，
    双曲面椭球面

双曲抛物面是直纹曲面

双曲抛物面的直母线

  • 双曲抛物面：

  • 考虑一族平面的交线 ，，是参数

  • （思考：为何上述两平面交集非空）

  • 两式相乘得双曲抛物面方程，因此该族直线上的点都在双曲抛物面上

上述直线称为该双曲抛物面的族直线

双曲抛物面的直母线

  • 反之，若点在双曲抛物面上：

  • 则时，可以选择合适的得到族直线的方程

  • 若，则，联立亦得直线

  • 双曲抛物面上每点都在一条完全在该曲面上的直线中

双曲抛物面可由一族直线生成

双曲抛物面的族直线

对双曲抛物面上任意一点，两族直线中都各有一条通过该点

练习

求与直线以及相交，且与平面平行的所有直线组成的曲面的方程

解答

  • 上的点：
    上的点：

  • 直线方向:

  • 与平面平行：


  • 直线方向：

解答

  • 直线：

  • 即

  • 由式得代入式得

双曲抛物面任意两条同族直母线异面，且平行于同一平面

练习

计算直线的方向向量

解答

可用外积计算方向向量

因此同族中相异的两直线()不平行

且都平行于平面

练习

取同族中相异（）的两直线：

验证上述方程组无解

解答

显然，，以及可知上式无解

双曲抛物面任意两条同族直母线异面，且平行于同一平面

不平行且无交点异面

都与向量正交平行于以为法向量的平面

双曲抛物面任意两条异族直母线共面，且相交

练习

求解以下方程组

解答

双曲抛物面任意两条异族直母线共面，且相交

任意族直线与族直线有唯一的交点

练习

求双曲抛物面相互正交的直母线的交点轨迹

直母线的方程

族 族
单叶双曲面
双曲抛物面

直母线的关系

同族 异族
单叶双曲面 异面 共面
双曲抛物面 异面、共法向量 共面、相交

小结

  • 抛物面的定义、两种抛物面的方程、与坐标平面的截面

  • 有心和无心二次曲面的概念

  • 两族直母线的计算

  • 同族直母线异面且共法向量、异族直母线共面且相交