4.4 椭球面与对称性

解析几何



周维祺

椭球面的概念

x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1

由上述标准方程所表示的曲面

相关概念

  • 顶点：(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c)(\pm a,0,0),(0,\pm b,0),(0,0,\pm c)

  • 主平面：对称平面，即坐标平面
    主轴：对称轴，即坐标轴
    中心：对称中心，即原点

  • 轴：同一对称轴上两顶点间的线段
    若a>b>ca>b>c，则称分别长度为2a,2b,2c2a,2b,2c的轴为长、中、短轴

对称平面

  • 给定平面HH和点PP，称P′P'是PP关于HH的对称点，若

  • 若PP,P′P'到HH的距离相等，且PP′PP'的连线垂直于HH

  • 称HH是曲面SS的对称平面，若

  • PP在曲面SS上，则PP关于HH的对称点P′P'也在曲面上

对称轴

  • 给定直线LL和点PP，称P′P'是PP关于LL的对称点，若:

  • PP,P′P'到LL的距离相等，且PP′PP'的连线交并垂直于LL

  • 称LL是曲面SS的对称轴，若:

  • PP在曲面SS上，则PP关于LL的对称点P′P'也在曲面上

对称中心

  • 给定点OO和点PP，称P′P'是PP关于OO的对称点，若:

  • PP,P′P'到OO的距离相等，且PP′PP'的连线过OO（OO是PP′PP'的中点）

  • 称OO是曲面SS的对称中心，若:

  • PP在曲面SS上，则PP关于OO的对称点P′P'也在曲面上

练习

点集 {(x,y,z):max⁡(∣x∣,∣y∣,∣z∣)=1}\{(x,y,z): \max(|x|,|y|,|z|)=1\}表示什么曲面？
指出该曲面的对称平面、对称轴、对称中心

与平面的截线

  • 用坐标平面x=0,y=0,z=0x=0,y=0,z=0截椭球面，截线是椭圆，称为主截线或主椭圆

  • 用平面x=h,y=h,z=hx=h,y=h,z=h截椭球面，可以无交点、截得顶点、或截得椭圆

练习

求过xx轴且与x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1的交线是圆的平面

椭球面的参数方程

{x=acos⁡θcos⁡φy=bcos⁡θsin⁡φz=csin⁡θ\begin{cases}x=a\cos\theta\cos\varphi \\ y=b\cos\theta\sin\varphi \\ z=c\sin\theta \end{cases}

综合练习1

  • 设v⃗=(v1,v2,v3)\vec v=(v_1,v_2,v_3)是一单位向量，即∥v⃗∥2=v12+v22+v32=1\|\vec v\|^2=v_1^2+v_2^2+v_3^2=1

  • 设过原点，方向v⃗\vec v的直线与椭球面x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1交于P,P′P,P'

  • 设线段PP′PP'的长度为2r2r

  • 证明：v12a2+v22b2+v32c2=1r2\frac{v_1^2}{a^2}+\frac{v_2^2}{b^2}+\frac{v_3^2}{c^2}=\frac{1}{r^2}

综合练习2

  • 设{x⃗=(x1,x2,x3)y⃗=(y1,y2,y3)z⃗=(z1,z2,z3)\begin{cases} \vec x=(x_1,x_2,x_3) \\ \vec y=(y_1,y_2,y_3) \\ \vec z=(z_1,z_2,z_3)\end{cases}是两两垂直的单位向量

  • 证明 x12+y12+z12=x22+y22+z22=x32+y32+z32=1x_1^2+y_1^2+z_1^2=x_2^2+y_2^2+z_2^2=x_3^2+y_3^2+z_3^2=1

综合练习3

从椭球面x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1的中心任意引三条相互垂直的射线，分别交椭球面于P1,P2,P3P_1,P_2,P_3, 设这三点到原点的距离分别是r1,r2,r3r_1,r_2,r_3，证明

1a2+1b2+1c2=1r12+1r22+1r32\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}

小结

  • 椭球面的定义

  • 对称平面、对称轴、对称中心的概念

  • 椭球面的相关计算

  • 椭球面的参数方程