4.2 锥面

解析几何



周维祺

锥面的概念

过定点且与一条定曲线相交的一族直线

（直观理解：“直线一段固定，另一端沿着一条定曲线运动”）

相关概念

  • 过定点且与一条定曲线相交的一族直线

  • 上文中的定点称为该锥面的顶点，定曲线称为该锥面的准线

  • 上文一族直线中的每一条都称为该锥面的母线

  • 若准线为圆，则圆心与顶点的连线称为该圆锥面的轴

准线不是唯一的

锥面的方程

  • 准线方程：; 顶点坐标：

  • 联立：

  • 消去得关于的方程即锥面方程

例子

  • 顶点在原点，准线为

  • 母线

  • 代入得，代入准线

  • 得，即

练习

圆锥面顶点坐标，轴垂直于平面，且轴与母线呈角，求此圆锥面的方程

解答

  • 圆锥面顶点坐标，轴垂直于平面，且轴与母线呈角，求此圆锥面的方程

  • 母线方向；轴方向



  • （略）

齐次函数

  • 若对任意，存在，使
    ,
    则称是(阶)齐次函数

  • 例子：

齐次函数与锥面

  • 是齐次函数，则表示顶点为原点的锥面

  • 在曲面上（思考：为什么）

  • 若在曲面上，则也在曲面上

  • 过原点，方向为的直线都在曲面上 锥面

小结

  • 锥面的定义

  • 顶点、母线、准线、圆锥面的轴

  • 锥面方程的计算

  • 齐次函数表示锥面