平行于给定方向，且与一条定曲线相交的一族直线

上文中的定曲线称为该柱面的准线

上文一族直线中的每一条都称为该柱面的母线

若准线为圆，则过圆心，且平行于母线的直线称为该圆柱面的轴

准线方程：$\begin{cases}F(x_0,y_0,z_0)=0 \\ G(x_0,y_0,z_0)=0\end{cases}$; 母线方向：$(a,b,c)$

联立得：$\begin{cases}F(x_0,y_0,z_0)=0 \\ G(x_0,y_0,z_0)=0 \\ (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=t(a,b,c)\end{cases}$

消去$x_0,y_0,z_0,t$得关于$x,y,z$的方程即柱面方程

准线方程：$\begin{cases}x_0^2+y_0^2+z_0^2=1 \\ 2x_0^2+2y_0^2+z_0^2=2\end{cases}$; 母线方向：$(-1,0,1)$

简化准线方程：$\begin{cases}x_0^2+y_0^2=1 \\ z_0=0\end{cases}$

母线方程：$(x-x_0,y-y_0,z-0)=t(-1,0,1)$

准线：$\begin{cases}x_0^2+y_0^2=1 \\ z_0=0\end{cases}$
母线：$(x-x_0,y-y_0,z-0)=t(-1,0,1)$

$x_0=x+t=x+z;\quad$ $y_0=y;\quad$ $z=t$

代入准线方程即得柱面方程： $(x+z)^2+y^2=1$

圆柱面的轴$L$为$(x,y-1,z+1)=t(1,-2,-2)$，点$Q(1,-2,1)$在此圆柱面上，求该圆柱面的方程

显然，$Q$到$L$的距离即准线圆的半径（设为$r$）,柱面上任意一点到$L$均为$r$

练习：用上述方法求出该柱面方程

$L$过点$M(0,1,-1)$，方向$\vec v=(1,-2,-2)$，单位向量：$\vec v_0=(1/3,-2/3,-2/3)$；设$P(x,y,z)$是柱面上一点

$\vec u=\vec{MP}=(x,y-1,z+1)$

$P_{\vec v}\vec u=(\vec u\cdot\vec v_0)\vec v_0=\frac{(x-2y-2z)}{3}(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3})$

$r^2=\|\vec u\|^2-\|P_{\vec v}\vec u\|^2$

$\|\vec u\|^2=x^2+(y-1)^2+(z+1)^2$

$\|P_{\vec v}\vec u\|^2=(x-2y-2z)^2/9$

$Q(1,-2,1)$代入可以解得$r^2=13$

柱面方程：
$9x^2+9(y-1)^2+9(z+1)^2-(x-2y-2z)^2=117$

给定曲线$S$：$\begin{cases}F_1(x,y,z)=0 \\ F_2(x,y,z)=0\end{cases}$;

分别消去一个元得$\begin{cases}G_1(x,y)=0 \\G_2(y,z)=0 \\G_3(x,z)=0 \end{cases}$;

$G_1,G_2,G_3$称为$S$的射影柱面，其中任意两者的交线即$S$

柱面的定义

母线、准线、圆柱面的轴

柱面方程的计算

射影柱面的计算