3.2 三维空间中的曲线及其计算

解析几何



周维祺

引入：R2\mathbb R^2中的曲线

R2\mathbb R^2中曲线的方程

  • 标准方程：F(x,y)=0F(x,y)=0

  • 参数方程：{x=x(t)y=y(t)\begin{cases}x=x(t) \\ y=y(t)\end{cases} (质点运动)

  • 极坐标下的方程

练习

将极坐标下的方程r=θr=\theta改写为直角坐标下的标准方程和参数方程

R3\mathbb R^3中曲线的方程

  • 曲面的交线：{F(x,y,z)=0F′(x,y,z)=0\begin{cases}F(x,y,z)=0 \\ F'(x,y,z)=0\end{cases}

  • 参数方程：{x=x(t)y=y(t)z=z(t)\begin{cases}x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t)\end{cases} (质点运动)

  • 球坐标和柱坐标下的方程

R3\mathbb R^3中曲线在坐标平面上的投影

  • 给定曲线SS： {F(x,y,z)=0F′(x,y,z)=0\begin{cases}F(x,y,z)=0 \\ F'(x,y,z)=0\end{cases}

  • 消去变量zz得H(x,y)=0H(x,y)=0

  • 与z=0z=0联立即SS在xyxy平面的投影

练习

分别求曲线{x2+y2+z2=1x+y+z=1\begin{cases}x^2+y^2+z^2=1 \\ x+y+z=1\end{cases}在三个坐标平面上的投影

平面和空间曲线的轨迹方程

例子：摆线

圆在直线上滚动时，圆周上一点的轨迹

例子：星形线

小圆在大圆内滚动时，小圆圆周上一点的轨迹（半径之比1:4）

例子：圆的渐伸线

把线绕在圆周上，反向扯出并使扯出的部分总是圆的切线时线头的轨迹

练习：箕舌线

拓展思考：正方形四个顶点同时按逆时针方向往相邻顶点运动，所得的轨迹？

例子：圆柱螺线

质点绕定直线作等角速度圆周运动的同时，作平行于直线的匀速运动时产生的轨迹

例子：圆柱螺线

{x=rcos⁡(ωt)y=rsin⁡(ωt)z=vt\begin{cases}x=r\cos(\omega t) \\ y=r\sin(\omega t) \\ z=vt \end{cases}

练习

质点从圆锥顶点出发，沿圆锥的一条母线作匀速直线运动，同时在圆锥面上绕圆锥的轴作等角速度的旋转，求其轨迹。

练习：圆锥螺线

{x=vtsin⁡θcos⁡(ωt)y=vtsin⁡θsin⁡(ωt)z=vtcos⁡θ\begin{cases}x=vt\sin\theta\cos(\omega t) \\ y=vt\sin\theta\sin(\omega t) \\ z=vt\cos\theta \end{cases}

小结

  • 平面曲线的标准和参数方程,坐标转换

  • 空间曲线的概念和参数方程

  • 空间曲线在坐标平面上的投影

  • 给定运动模式，求平面或空间曲线的轨迹方程 （重点！）