2.3 平面、直线、点之间的距离和计算

解析几何



周维祺

引入：集合间的距离

点到平面的距离

点到平面距离的计算

  • 距离=b⃗cos⁡θ=∣b⃗⋅n⃗∣/∥n⃗∥=\vec b\cos\theta=|\vec b\cdot\vec n|/\|\vec n\|

  • 设n⃗=(A,B,C)\vec n=(A,B,C), 则平面方程：
    A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

  • 代入Q的坐标：
    ∣A(x1−x0)+B(y1−y0)+C(z1−z0)∣/A2+B2+C2|A(x_1-x_0)+B(y_1-y_0)+C(z_1-z_0)|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}

点到平面的距离

点的坐标代入平面方程，取绝对值，然后除以法向量的长度

距离=∣Ax1+By1+Cz1+D∣A2+B2+C2\text{距离}=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

平行平面间的距离

显然，平行平面H,H′H,H'间的距离=HH上任意一点到H′H'的距离

平行平面间距离的计算

  • H:Ax+By+Cz+D=0H: Ax+By+Cz+D=0
    H′:Ax′+By′+Cz′+D′=0H': Ax'+By'+Cz'+D'=0

  • b⃗⋅n⃗=A(x−x′)+B(y−y′)+C(z−z′)=D′−D\vec b\cdot\vec n=A(x-x')+B(y-y')+C(z-z')=D'-D
    （思考：为什么）


  • 距离：∣D−D′∣/A2+B2+C2|D-D'|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}

思考：两相交平面的距离是？

直线与平面的距离



  • 相交，在平面上：距离为00

  • 平行：任取直线上一点，计算该点与平面的距离即可

练习

平面HH过点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，求坐标原点关于HH的对称点

点到直线的距离:一般情况

点到直线的距离:一般情况的计算

  • 设直线方向v⃗\vec v, 过点P0P_0

  • 给定点QQ, 记b⃗=PQ⃗\vec b=\vec {PQ}

  • 记：Pv⃗P_{\vec v}为向v⃗\vec v方向上的投影 （思考：公式）
    距离的平方=∥b⃗∥2−∥Pv⃗b⃗∥2=\|\vec b\|^2-\|P_{\vec v}\vec b\|^2

点到直线的距离:特例



  • R3\mathbb R^3上: 只需计算∥v⃗×b⃗∥/∥v⃗∥=∥b⃗∥∣sin⁡θ∣\|\vec v\times\vec b\|/\|\vec v\|=\|\vec b\||\sin\theta|

  • R2\mathbb R^2上: 给定点(x0,y0)(x_0,y_0)，直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0
    距离=∣Ax0+By0+C∣/A2+B2=|Ax_0+By_0+C|/\sqrt{A^2+B^2}

平行直线间的距离

显然，平行直线L,L′L,L'间的距离=LL上任意一点到L′L'的距离

练习

设直线LL过原点，方向为(1,1,1)(1,1,1)
分别计算(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)到LL的距离

异面直线间的距离

R3\mathbb R^3中异面直线间距离的计算

  • 设直线L,L′L,L'的方向分别是v⃗,v⃗′\vec v,\vec v'，则其公垂线的方向是v⃗×v⃗′\vec v\times \vec v'

  • 分别在L,L′L,L'上各自任取一点M,M′M,M'，记b⃗=MM′⃗\vec b=\vec{MM'}

  • 若Pv⃗×v⃗′P_{\vec v\times \vec v'}是向v⃗×v⃗′\vec v\times \vec v'方向上的投影，则距离=∥Pv⃗×v⃗′b⃗∥=\|P_{\vec v\times \vec v'}\vec b\|

∥Pv⃗×v⃗′b⃗∥=∣b⃗⋅(v⃗×v⃗′)∣∥v⃗×v⃗′∥=平行六面体的体积底面积\|P_{\vec v\times \vec v'}\vec b\|=\frac{|\vec b\cdot(\vec v\times \vec v')|}{\|\vec v\times \vec v'\|}=\frac{\text{平行六面体的体积}}{\text{底面积}}

练习

  • 直线LL过点(3,8,3)(3,8,3)，方向(3,−1,1)(3,-1,1)

  • 直线L′L'过点(−3,−7,6)(-3,-7,6)，方向(−3,2,4)(-3,2,4)

  • 求L,L′L,L'的距离

公垂线方程

  • 直线L,公垂线共同确定平面HH
    HH的法向量是v⃗×(v⃗×v⃗′)\vec v\times(\vec v\times \vec v')，HH过LL上任意一点

  • 直线L',公垂线共同确定平面H'
    H′H'的法向量是v⃗′×(v⃗×v⃗′)\vec v'\times(\vec v\times \vec v')，H′H'过L′L'上任意一点

  • 公垂线的方程可以写成HH与H′H'的交线

练习

  • 直线LL过点(0,1,−2)(0,1,-2)，方向(1,2,−1)(1,2,-1)

  • 直线L′L'过点(1,4,−2)(1,4,-2)，方向(4,7,−5)(4,7,-5)

  • 已知L,L′L,L'共面，求其所在平面的方程

练习

  • 直线LL过点(3,0,1)(3,0,1)，方向(2,1,0)(2,1,0)

  • 直线L′L'过点(−1,2,0)(-1,2,0)，方向(1,0,1)(1,0,1)

  • 求L,L′L,L'公垂线的方程

小结

  • 点到平面的距离

  • 点到直线的距离

  • 异面直线间的距离和公垂线方程

  • 对于投影的掌握是基础！