参数方程：$\begin{cases}x=a+v_1t \\ y=b+v_2t \\ z=c+v_3t \end{cases}$

标准方程: $(x-a,y-b,z-c)=t(v_1,v_2,v_3)$

一般方程：$\begin{cases}Ax+By+Cz+D=0 \\ A'x+B'y+C'z+D'=0 \end{cases}$ （思考：为什么）

令$\vec n=(A,B,C)$, $\vec n'=(A',B',C')$为法线

此时直线的方向同时垂直于两平面的法线，即$\vec c=k(\vec n\times\vec n')$

已知直线$L$过点$(0,0,0)$,方向$(1,1,1)$，写出其参数方程和标准方程

写出以$L$为轴线的有轴平面束的方程

将$\begin{cases}2x+y-z+1=0 \\ 3x-y-z-3=0 \end{cases}$写为标准方程

设$L:\begin{cases}x=a+v_1t \\ y=b+v_2t \\ z=c+v_3t \end{cases}$, $H:Ax+By+Cz+D=0$

将$L$的方程代入$H$的方程：
$A(a+v_1t)+B(b+v_2t)+C(c+v_3t)+D=0$

$\Rightarrow \underbrace{(Av_1+Bv_2+Cv_3)}_{=\vec n\cdot\vec v}t=-(Aa+Bb+Cc+D)$

$\underbrace{(Av_1+Bv_2+Cv_3)}_{=\vec n\cdot\vec v}t=-(Aa+Bb+Cc+D)$

$\vec n\cdot\vec v\neq0\Rightarrow$有唯一解，相交

$\vec n\cdot\vec v=0, Aa+Bb+Cc+D\neq0\Rightarrow$ 无解，平行

$\vec n\cdot\vec v=0, Aa+Bb+Cc+D=0\Rightarrow$ 无穷多解，在平面上

若$\theta$是平面法向量$\vec n$与直线方向$\vec v$的夹角

则$\cos\theta=\vec n\cdot\vec v/(\|\vec n\|\|\vec v\|)$

直线与平面的夹角$=(\pi/2)-\theta$

设$\vec v,\vec v'$分别是直线$L,L'$的方向向量

任取$L$上的一点$M$,和$L'$上的一点$M'$,连接得到一新向量$\vec w$

$L,L'$共面$\Leftrightarrow \vec v,\vec v',\vec w$线性相关$\Leftrightarrow\det\begin{pmatrix}\vec v & \vec v' & \vec w\end{pmatrix}=0$

共面时：$\vec v=k\vec v'\Leftrightarrow$平行，否则相交，夹角可由内积$\vec v\cdot\vec v'$计算

直线的参数方程和标准方程：点+方向

直线的一般方程：两平面交线

上述方程的相互转化

直线与平面、直线与直线的位置关系、夹角及其计算