解析几何 周维祺
R3\mathbb R^3R3中，两个线性无关向量x⃗,y⃗\vec x,\vec yx,y的全部线性组合{ax⃗+by⃗}\{a\vec x+b\vec y\}{ax+by}称为平面
一般地，Rn\mathbb R^nRn中，n−1n-1n−1个线性无关向量的全部线性组合称为超平面
数学中平面/超平面过原点（思考：为什么），不过原点的称为仿射(affine)平面/超平面
自然语言中两者不加区分，都称为平面
参数方程：{ax⃗+by⃗}\{a\vec x+b \vec y\}{ax+by} (或{ax⃗+by⃗+z⃗})\{a\vec x+b \vec y+\vec z\}){ax+by+z})
标准方程：设n⃗=(a,b,c)\vec n=(a,b,c)n=(a,b,c)是其法向量 {(x,y,z):ax+by+cz=0}\{(x,y,z):ax+by+cz=0\}{(x,y,z):ax+by+cz=0} {(x,y,z):ax+by+cz=d}\{(x,y,z):ax+by+cz=d\}{(x,y,z):ax+by+cz=d} {(x,y,z):a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0}\{(x,y,z):a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\}{(x,y,z):a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0}
截距式：xa+yb+zc=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1ax+by+cz=1
已知（仿射）平面过点 A=(1,1,0),B=(0,1,1),C=(1,0,1)A=(1,1,0),B=(0,1,1),C=(1,0,1)A=(1,1,0),B=(0,1,1),C=(1,0,1)
计算AB⃗×AC⃗\vec{AB}\times\vec{AC}AB×AC
写出平面的标准方程
一般地，若（仿射）平面过点 A=(a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3),C=(c1,c2,c3)A=(a_1,a_2,a_3),B=(b_1,b_2,b_3),C=(c_1,c_2,c_3)A=(a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3),C=(c1,c2,c3)
(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)是该（仿射）平面上任意一点，则其方程为 det(x−a1y−b1z−c1x−a2y−b2z−c2x−a3y−b3z−c3)=0\det\begin{pmatrix} x-a_1 & y-b_1 & z-c_1 \\ x-a_2 & y-b_2 & z-c_2 \\ x-a_3 & y-b_3 & z-c_3 \\ \end{pmatrix}=0det⎝⎛x−a1x−a2x−a3y−b1y−b2y−b3z−c1z−c2z−c3⎠⎞=0
给定两（仿射）平面： ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0以及a′x+b′y+c′z+d′=0a'x+b'y+c'z+d'=0a′x+b′y+c′z+d′=0
重合：(a,b,c,d)=k(a′,b′,c′,d′)(a,b,c,d)=k(a',b',c',d')(a,b,c,d)=k(a′,b′,c′,d′)
平行：(a,b,c)=k(a′,b′,c′)，d≠kd′(a,b,c)=k(a',b',c')， d\neq kd'(a,b,c)=k(a′,b′,c′)，d=kd′
夹角余弦：(n⃗,n⃗′)∥n⃗∥∥n⃗′∥=aa′+bb′+cc′(a2+b2+c2)(a′2+b′2+c′2)\frac{(\vec n,\vec n')}{\|\vec n\|\|\vec n'\|}=\frac{aa'+bb'+cc'}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a'^2+b'^2+c'^2)}}∥n∥∥n′∥(n,n′)=(a2+b2+c2)(a′2+b′2+c′2)aa′+bb′+cc′
（仿射）平面过点(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1),(−3,2,4)(-3,2,4)(−3,2,4),(5,−4,2)(5,-4,2)(5,−4,2)
求该（仿射）平面与三个坐标平面各自的夹角
有轴平面束：过同一直线的所有（仿射）平面
平行平面束：平行于同一（仿射）平面的所有（仿射）平面
给定（仿射）平面Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0
平行于该（仿射）平面的任意（仿射）平面具有形式： Ax+By+Cz+D′=0Ax+By+Cz+D'=0Ax+By+Cz+D′=0 其中D′∈RD'\in\mathbb RD′∈R是参数
若以下两个（仿射）平面相交于直线LLL Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0以及A′x+B′y+C′z+D′=0A'x+B'y+C'z+D'=0A′x+B′y+C′z+D′=0
经过该直线LLL的任意平面具有形式： p(Ax+By+Cz+D)+q(A′x+B′y+C′z+D′)=0p(Ax+By+Cz+D)+q(A'x+B'y+C'z+D')=0p(Ax+By+Cz+D)+q(A′x+B′y+C′z+D′)=0 其中p,q∈Rp,q\in\mathbb Rp,q∈R是参数
p(Ax+By+Cz+D)+q(A′x+B′y+C′z+D′)=0p(Ax+By+Cz+D)+q(A'x+B'y+C'z+D')=0p(Ax+By+Cz+D)+q(A′x+B′y+C′z+D′)=0 具有平面标准方程的形式，是平面
若(x0,y0,z0)∈L(x_0,y_0,z_0)\in L(x0,y0,z0)∈L，则 Ax0+By0+Cz0+D=0,A′x0+B′y0+C′z0+D′=0Ax_0+By_0+Cz_0+D=0,A'x_0+B'y_0+C'z_0+D'=0Ax0+By0+Cz0+D=0,A′x0+B′y0+C′z0+D′=0 从而该平面过直线LLL
该平面的法向量是p(A,B,C)+q(A′,B′,C′)p(A,B,C)+q(A',B',C')p(A,B,C)+q(A′,B′,C′)，即(A,B,C)(A,B,C)(A,B,C)与(A′,B′,C′)(A',B',C')(A′,B′,C′)的线性组合
因此任意垂直于LLL的向量都可以写成p(A,B,C)+q(A′,B′,C′)p(A,B,C)+q(A',B',C')p(A,B,C)+q(A′,B′,C′)的形式
该有轴平面束中任意（仿射）平面都具有上述形式
设x+5y+z=0x+5y+z=0x+5y+z=0与x−z+4=0x-z+4=0x−z+4=0相交于直线LLL
求过直线LLL且与x−4y−8z+12=0x-4y-8z+12=0x−4y−8z+12=0成π/4\pi/4π/4角的平面
令f(x,y)=y,g(x,y)=xf(x,y)=y,g(x,y)=xf(x,y)=y,g(x,y)=x
f(x,y)=0,g(x,y)=0f(x,y)=0,g(x,y)=0f(x,y)=0,g(x,y)=0分别代表xxx轴和yyy轴
{f(x,y)>0g(x,y)>0{f(x,y)<0g(x,y)>0{f(x,y)<0g(x,y)<0{f(x,y)>0g(x,y)<0 \begin{cases}f(x,y)>0 \\ g(x,y)>0\end{cases} \begin{cases}f(x,y)<0 \\ g(x,y)>0\end{cases} \begin{cases}f(x,y)<0 \\ g(x,y)<0\end{cases} \begin{cases}f(x,y)>0 \\ g(x,y)<0\end{cases} {f(x,y)>0g(x,y)>0{f(x,y)<0g(x,y)>0{f(x,y)<0g(x,y)<0{f(x,y)>0g(x,y)<0 分别对应一、二、三、四象限中的点
设H1(x)=0,…,Hn(x)=0H_1(x)=0,\ldots,H_n(x)=0H1(x)=0,…,Hn(x)=0分别是R3\mathbb R^3R3中的平面
Hk(x)>0H_k(x)>0Hk(x)>0表示xxx在第kkk个平面的“上”方 Hk(x)<0H_k(x)<0Hk(x)<0表示xxx在第kkk个平面的“下”方
kkk个平面将R3\mathbb R^3R3分隔成至多不超过2k2^k2k个部分（思考：为什么） xxx所在的部分由{Hk(x)}k\{H_k(x)\}_k{Hk(x)}k的符号确定
平面与仿射平面的定义
（仿射）平面的几种方程和夹角计算
平面束的形式
平面划分空间的判定