1.3 向量的外积

解析几何



周维祺

引入：R3\mathbb R^3上的外积

描述性定义

  • a⃗×b⃗⊥a⃗,b⃗\vec a\times\vec b\perp\vec a, \vec b

  • a⃗,b⃗,a⃗×b⃗\vec a, \vec b, \vec a\times \vec b呈逆时针序

  • ∥a⃗×b⃗∥=∥a⃗∥∥b⃗∥sin⁡θ\|\vec a\times\vec b\|=\|\vec a\|\|\vec b\|\sin\theta (θ\theta是a⃗,b⃗\vec a,\vec b的夹角)

代数性质

  • 反对称性： a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec a\times \vec b=-\vec b\times \vec a

  • 从而a⃗×a⃗=0\vec a\times \vec a=0 （思考：为什么）

  • （首位）线性性：
    (a⃗+c⃗)×b⃗=a⃗×b⃗+c⃗×b⃗(\vec a+\vec c)\times \vec b=\vec a\times \vec b+\vec c\times \vec b
    (ka⃗)×b⃗=ka⃗×b⃗(k\vec a)\times \vec b=k\vec a\times \vec b

另一种视角

  • 设a⃗=a1e⃗x+a2e⃗y\vec a=a_1\vec e_x+a_2\vec e_y, b⃗=b1e⃗x+b2e⃗y\vec b=b_1\vec e_x+b_2\vec e_y, e⃗x⊥e⃗y\vec e_x\perp\vec e_y

  • a⃗×b⃗=(a1e⃗x+a2e⃗y)×(b1e⃗x+b2e⃗y)\vec a\times \vec b=(a_1\vec e_x+a_2\vec e_y)\times(b_1\vec e_x+b_2\vec e_y)

  • 展开：
    =a1b1e⃗x×e⃗x⏟=0+a1b2e⃗x×e⃗y+a2b1e⃗y×e⃗x⏟=−e⃗x×e⃗y+a2b2e⃗y×e⃗y⏟=0=a_1b_1\underbrace{\vec e_x\times\vec e_x}_{=0}+a_1b_2\vec e_x\times\vec e_y+a_2b_1\underbrace{\vec e_y\times\vec e_x}_{=-\vec e_x\times\vec e_y}+a_2b_2\underbrace{\vec e_y\times\vec e_y}_{=0}

另一种视角

  • a⃗×b⃗=(a1b2−a2b1)x⃗×y⃗\vec a\times\vec b=(a_1b_2-a_2b_1)\vec x\times\vec y

  • a1b2−a2b1=det⁡(a1b1a2b2)a_1b_2-a_2b_1=\det\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{pmatrix}

  • 即a⃗,b⃗\vec a,\vec b所围成的平行四边形的面积，亦即∥a⃗∥∥b⃗∥sin⁡θ\|\vec a\|\|\vec b\|\sin\theta

外积完全可以由其代数性质所刻画

R3\mathbb R^3上外积的计算

  • 令 x⃗=(1,0,0)\vec x=(1,0,0), y⃗=(0,1,0)\vec y=(0,1,0), z⃗=(0,0,1)\vec z=(0,0,1)

  • 练习： x⃗×y⃗=?\vec x\times\vec y=?, y⃗×z⃗=?\vec y\times\vec z=? ,z⃗×x⃗=?\vec z\times\vec x=?

  • x⃗×y⃗=z⃗\vec x\times\vec y=\vec z, y⃗×z⃗=x⃗\vec y\times\vec z=\vec x ,z⃗×x⃗=y⃗\vec z\times\vec x=\vec y

R3\mathbb R^3上外积的计算

  • a⃗=a1x⃗+a2y⃗+a3z⃗\vec a=a_1\vec x+a_2\vec y+a_3\vec z

  • b⃗=b1x⃗+b2y⃗+b3z⃗\vec b=b_1\vec x+b_2\vec y+b_3\vec z

  • a⃗×b⃗=det⁡(x⃗y⃗z⃗a1a2a3b1b2b3)\vec a\times\vec b=\det\begin{pmatrix} \vec x & \vec y & \vec z \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}

练习



  • 计算 (a1x⃗+a2y⃗+a3z⃗)×(b1x⃗+b2y⃗+b3z⃗)(a_1\vec x+a_2\vec y+a_3\vec z)\times(b_1\vec x+b_2\vec y+b_3\vec z)

  • a⃗=(3,−6,2)\vec a=(3,-6,2), b⃗=(2,3,6)\vec b=(2,3,6), 求a⃗×b⃗\vec a\times\vec b

小结

  • 外积的描述性定义

  • 外积的代数性质

  • 外积的计算