5.4 傅立叶级数简介

高等数学 A2



周维祺

引入: 内积与正交分解

向量和向量空间的一般概念

  • 具备特定加法和数乘结构的集合称为（实）线性空间

  • 线性空间中的元素称为向量

  • 例子：一元次多项式组成的集合

  • 例子：上的连续函数

上的内积

  • ,

  • 称为的内积

  • 也记作,

内积的几何意义

  • 是的长度，记作



  • , 是的夹角

内积的代数性质

  • 双线性（实）：




  • 正定性：
    对任意都有, 且等号仅在时成立

实线性空间上的内积和例子

  • 设是一实线性空间

  • 任何正定的双线性运算都是上的一种内积

  • 是上的连续函数，

  • 是的实矩阵，

正交投影

  • 将投影到的方向上，用表示两者的夹角

  • 取,则

  • 长度：

正交分解

  • 若两两正交且长度都为1的向量是的一组基向量，则称其为的一组单位正交基向量

  • 若可以表示为，则



练习

验证正、余弦函数在上的正交性()：

傅立叶级数的三角形式

设是周期为的有界函数，则在上有

系数的计算





  • 由正交性可类似计算得：

练习

计算在上的傅立叶级数

傅立叶级数的收敛性是很复杂的领域

一个简单充分条件：教材p.311 Dirichlet条件

更易判断一些的条件：若有界，则的傅立叶级数处处收敛至

小结

  • 傅立叶级数的三角形式

  • 系数的计算

  • 对收敛性的认识