5.3 幂级数

高等数学 A2



周维祺

函数级数

给定一列函数，称为函数级数

若数项级数收敛，则称该函数级数在处收敛

幂级数

给定和一数列，称函数级数为幂级数

例子：；；；

收敛性

  • 若在处收敛
    则该级数对所有的都绝对收敛

  • 若在处发散
    则该级数对所有的都发散

  • 例：几何级数

证明的主要步骤

  • 设在处收敛，则

  • 存在，使



  • 若，则，因此原级数收敛

证明的主要步骤

  • 若在处发散

  • 若存在满足，且该级数在处也收敛

  • 则利用上页结论知该级数应在处收敛，从而矛盾

收敛半径

对任意幂级数，存在，使得

级数绝对收敛级数发散

称为该级数的收敛半径，时级数可能收敛也可能发散

例子

  • ：；时发散；

  • ：；时收敛；

练习

确定的收敛半径

收敛半径的计算

  • 给定幂级数，记其收敛半径为

  • 比值法：

  • 根式法：

收敛半径的计算

  • 取代入，得数项级数

  • 数项级数收敛的比值法：

  • 即

收敛半径的计算

  • 取代入，得数项级数

  • 数项级数收敛的根式法：

  • 即

例子



  • 比值法：

  • 根式法：

练习

确定和的收敛半径

由幂级数定义的函数

给定级数，设其收敛半径为

显然该级数在其上定义了一个函数

解析函数

若在附近(的某个邻域)可以写成幂级数

，则称在处解析

泰勒展开

  • 若在上成立

  • 则

  • 由导数定义可计算得

  • 泰勒展开

光滑函数

的各阶导数均存在

练习

计算以下函数的各阶导数在处的值:

光滑解析

收敛半径还与奇点位置有关

例：以下展开式在时成立

小结

  • 幂级数及其收敛性的概念

  • 收敛半径的概念及其计算

  • 幂级数展开及其收敛半径

  • 光滑性和解析性