5.1 数项级数

高等数学 A2



周维祺

数项级数的概念

  • 给定数列

  • 称为该数列的部分和，称为无穷级数

  • 若时，，则称此无穷级数收敛，并称为其和

  • 若时，无极限，则称此无穷级数发散

例子

  • 收敛

  • 发散

  • 发散

练习

  • 给定数列，设，判断以下命题是否正确，正确的说明理由，错误的举出反例

  • 若存在常数，使对所有都成立，则收敛

  • 若时，，则收敛

  • 若，且存在常数，使对所有都成立, 则收敛

重要的例子

  • 记住以下一些例子，有助于检验收敛性：

  • 收敛： ，，

  • 发散： ，，

一些性质

  • 若级数和分别收敛到和

  • 则 收敛到

  • 在中增加或减少有限项，不影响其级数的收敛性

一些性质

  • 在中任意增加括号，原级数仍收敛到同一极限

  • 增加括号后收敛不代表原级数收敛，例：

  • 任意增加括号不等于任意改变求和顺序

练习

  • 设，

  • 记

  • 证明收敛，并求出其极限

练习

  • 设

  • 记

  • 证明收敛，且极限不为

求和顺序

  • 设

  • 则

  • 假设改变求和顺序不改变极限，则先取右侧分母相同的数各自求和

  • ，矛盾

改变求和顺序可能改变收敛性和极限

条件收敛

收敛的正项级数可以改变求和顺序

若，则可以任意改变的求和顺序而不影响其收敛性和极限

绝对收敛

若收敛，则称级数绝对收敛

绝对收敛性

  • 设绝对收敛

  • 设是单调不减，且有上界，故收敛

  • 从而收敛

绝对收敛收敛；收敛绝对收敛

例：

绝对收敛的数列可以改变求和顺序

练习

  • 判断以下命题是否正确，正确的说明理由，错误的举出反例

  • 若，收敛，则也收敛

  • 若绝对收敛，收敛，则也收敛

小结

  • 级数的概念和收敛性

  • 级数的常用性质和一些重要例子

  • 条件收敛与绝对收敛

  • 求和顺序