设定

• 设有曲面，和曲面上的实值函数
  
  

• 设有界可微、且边界是分段光滑的闭曲线，设连续
  
  

• 例子：薄片，密度函数，求质量

曲面积分的定义

• 将分割为互不相交的
  
  

• 记的面积为,直径为, 并取
  
  

• 令，若有极限，且该极限与选点和分割无关，则称其为在上的积分，记作

曲面积分的计算

设曲面的方程是

记在平面的投影为

例子

• 求，其中是的上半部分（）
  
  

• 曲面
  
  

• ；；
  
  

例子

设定

• 设有曲面上有函数
  
  

• 
  
  

• 例子：不可压缩的流体以速度通过，求单位时间内的流量

有向和可定向曲面

• 在上取某点处切面的单位法向量，设为
  ()
  
  

• 显然也可以作为该点的法向量
  
  

• 规定其中一个为正方向，例如取坐标大于
  
  

• 定向：当点在曲面上变化时，正方向的法向量也连续变化

沿坐标作曲面积分的计算

• 将分割为互不相交的
  
  

• 记的面积为，直径为，并取
  
  

• 设处的单位正向法向量为
  ()
  
  

• 考虑

沿坐标作曲面积分的计算

• 令，若有极限，且该极限与选点和分割无关，则称其为在上的积分，记作
  
  

• 将在三坐标面上的投影记作，面积分别为
  
  

• 则

例子

• 计算在正方体表面外侧的积分
  
  

• 正方体有面，每个坐标面上只有个面的投影非，且这个面上函数值均为常数，分别为和
  
  

• 
  
  

小结

• 按面积作曲面积分的定义和计算
  
  
• 有向和定向曲面
  
  
• 沿坐标积分作曲面积分的定义和计算
  
  
• 积分方向和符号