简单情况的证明

• 设能写成
  
  

• 也能写成
  
  

• 其中连续

简单情况的证明

例子

• 求，其中是正向圆周
  
  

• 令，为圆盘
  
  

• 原式
  
  

• 若用上节方法直接计算：
  

证明的主要步骤

• 先证：对闭曲线的积分是
  
  

• 设是任意闭曲线，记围成的单连通有界闭区域为
  
  

• 若，则
  
  

证明的主要步骤

• 再证：对闭曲线的积分是
  
  

• 设对任意闭曲线的积分是，但在处
  不妨设
  
  

• 则存在的邻域,使在上
  
  

• 从而

证明的主要步骤

• 再证：是的梯度
  
  

• 若是的梯度，则
  
  

• 因有一阶连续偏导，故

证明的主要步骤

• 再证：是的梯度
  
  

• 若，则积分与路径无关；固定一点
  
  

• 则的梯度是
  (类似于一元函数的微积分基本定理)

证明的主要步骤

• 
  
  

• 在中取经过的路径
  
  

• 上式
  
  

• 利用积分中值定理可得

以下几个命题等价

若的一阶偏导存在且连续，

• 是某个函数的梯度
  
  

• 的曲线积分与路径无关
  
  

• 对任意闭曲线的积分是
  
  

小结

• 格林公式及其物理意义
  
  
• 积分与路径无关的几个等价命题