4.1 曲线积分（路径积分）

高等数学 A2



周维祺

沿弧长积分

设定

  • 设有曲线，和曲线上的函数

  • 设有质点在变化的力力的大小下移动轨迹为，设力的方向始终与速度方向一致，求做功总量

  • 设光滑，连续

相当于求曲线下的面积

沿弧长积分的计算

  • 用参数方程，来描述曲线

  • 将曲线分成段，记第i段的弧长为

  • 每段上视作常数, 其中

沿弧长积分的计算

  • 则有和式

  • 若, 且时，若上式有极限，且该极限与无关

  • 则定义此极限为沿着积分的值，记作

沿弧长积分的计算公式

练习

计算以下积分的值，其中是原点到的线段

解答

参数方程：, ，代入

沿向量坐标积分

设定

  • 设有曲线，和上的函数

  • 设有质点在变化的力力的大小和方向下移动轨迹为，求做功总量

  • 设光滑，连续

转化为沿变化方向上沿弧长的积分

沿坐标积分的计算

  • 将分作段, 的起点和终点分别记作

  • 每段上视作常数, 其中在上

  • 记到的向量为

沿坐标积分的计算

  • 则有和式

  • 若, 且的长度时，若上式有极限，且与点的选取无关

  • 则定义此极限为沿着积分的值，记作
    或
    其中

沿坐标积分的计算公式

用参数方程，来描述曲线

练习

  • 质点从沿圆心在原点，半径为的上半圆运动，运动到

  • 设有大小恒为的力作用于该质点

  • 设力的方向始终指向圆心，用上述方法求此过程中力所做的功

  • 设力的方向始终与质点的运动方向一致，用上述方法求此过程中力所做的功

解答

  • 若力的方向始终指向圆心，则在力的方向上没有位移，做功为

  • 曲线参数化：

  • 力：

  • 积分

解答

  • 若力的方向始终与运动方向一致，则做功为力的大小距离

  • 运动方向即曲线切线方向，切线方向垂直于梯度

  • 力：

  • 积分

阅读：两类积分的其它相关性质

线性性、积分区域的可分性、不等式、联系

小结

  • 沿弧长积分的概念、前提、推导

  • 沿向量坐标积分的概念、前提、推导

  • 两类积分的参数化及其计算

  • 两类积分的相关性质