3.4 重积分的应用

高等数学 A2



周维祺

计算曲面面积

设有曲面，有连续偏导，, 为有界闭区域

计算步骤

  • 设, 其中是一矩形，考虑：



  • 记为中的小矩形

  • 记，记其面积为

计算步骤

  • 在中任取一点，记

  • 全微分存在，点附近曲面的变化该点附近的切平面，即的曲面面积切面在时的面积

  • 设是切平面与平面的夹角，则

计算步骤

  • 平面的法向量:，切面的法向量:

  • 作内积：

  • 对所有求和，再令, ，即得曲面面积

曲面面积公式

例子

  • 计算半径为的球的表面积

  • 只需计算上半球的表面积

  • ，

例子







  • 表面积=

练习

计算抛物面在平面时的表面积

质心的计算

离散的情况

  • 设平面上个质点

  • 质量分别为，坐标分别为

  • 设质心的坐标为，则

连续的情况

  • 设有中的有界闭区域

  • 已知物体在上密度为，的偏导存在且连续

  • 将视作，并任取，设面积为

连续的情况

  • 将物体在上的质量视作

  • 并视其质量集中于点

  • 套用离散情况的公式得

  • 令，

质心公式

练习

求半径为,密度均匀半圆的质心

引力的计算

离散的情况

  • 设平面上两个质点，质量分别为和
    坐标分别为和

  • 对的引力大小为


  • 引力的单位方向向量为
    因此引力为

连续的情况

  • 设有中的有界闭区域

  • 已知物体在上密度为，的偏导存在且连续

  • 设处有一质量为的质点

  • 同理，将分解、求和、取极限，可得对该点的引力公式

引力公式

方向：

方向：

方向：

练习

求密度均匀的半球

对处质量为的质点的引力大小

转动惯量的计算

设定和推导

  • 平面上处有一质量为的质点

  • 相对于轴、轴的转动惯量分别是,

  • 有界闭区域上有密度为的物体，有连续偏导

  • 同理，将分解、求和、取极限，可得上该物体的转动惯量公式

转动惯量公式

对轴：

对轴：

练习

求密度均匀、半径为的半圆相对于其直径边的转动惯量

拓展阅读：的情况

特别地，求中的质心、中的引力

小结

  • 曲面面积的计算和推导

  • 从离散情况出发，将连续情况分割，求和、取极限的基本思想方法

  • 质心、引力、转动惯量的计算