三重积分的定义
当,且时,若有极限,且与的选取无关,则称为在上三重积分,记作
练习
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考虑函数,其中
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令, , 其中
令
记为的体积
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分别计算以及时的值,并计算时的极限
三重积分的性质:中值定理
设在有界闭区域上连续,是的体积
则存在,使得
有界闭区域上的连续函数总是可积的 且积分顺序可以交换
积分区域或被积函数无界的反常积分不一定可积,也不一定能交换顺序
本课程不涉及
Jacobian(雅可比式)
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设
的偏导都存在且连续
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是映射的雅可比矩阵
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称为该映射的雅可比式
换元的前提条件
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设是有界闭区域上的实值连续函数
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的偏导都存在且连续
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设的映射是单射
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设
小结
- 三重积分的定义和性质
- 三重积分的计算
- 三重积分的换元和柱坐标转换
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