设定

• 令是一有界闭区域
  
  

• 设，其中
  是一立方体，考虑：
  
  
  

设定

• 记为中的小立方体
  
  

• 若，则记，并记其体积为，直径为
  
  

• 设有定义在有界闭区域上的三元连续函数
  
  

设定

• 在中任取一点
  
  

• 记
  
  

• 记

练习

• 考虑函数，其中
  
  

• 令, , 其中
  令
  记为的体积
  
  

• 分别计算以及时的值，并计算时的极限

例子

• 设是由三坐标平面以及围成
  计算在上的积分
  
  

• 
  
  

例子

Jacobian（雅可比式）

• 设
  的偏导都存在且连续
  
  

• 是映射的雅可比矩阵
  
  

• 称为该映射的雅可比式

换元的前提条件

• 设是有界闭区域上的实值连续函数
  
  

• 的偏导都存在且连续
  
  

• 设的映射是单射
  
  

• 设

例子

• 计算，其中是与所围成的区域
  
  

• , ,
  
  

• 
  

解答

• 将分为, ，其中是与所围成的区域,是与所围成的区域
  
  

• 
  
  

小结

• 三重积分的定义和性质
  
  
• 三重积分的计算
  
  
• 三重积分的换元和柱坐标转换