3.3 三重积分及其计算

高等数学 A2



周维祺

设定

  • 令是一有界闭区域

  • 设，其中
    是一立方体，考虑：


设定

  • 记为中的小立方体

  • 若，则记，并记其体积为，直径为

  • 设有定义在有界闭区域上的三元连续函数

设定

  • 在中任取一点

  • 记

  • 记

三重积分的定义

当，且时，若有极限，且与的选取无关,则称为在上三重积分，记作

练习

  • 考虑函数，其中

  • 令, , 其中
    令
    记为的体积

  • 分别计算以及时的值，并计算时的极限

练习

证明在上例中，只要，则都收敛到同一极限

三重积分的性质:线性性

三重积分的性质:对于积分区域的可加性

三重积分的性质:一些不等式

的体积

三重积分的性质:中值定理

设在有界闭区域上连续，是的体积
则存在，使得

练习：证明上述中值定理

对积分区域的假设

设积分区域可以写作

其中连续

转化为三个一重积分

有界闭区域上的连续函数总是可积的 且积分顺序可以交换

积分区域或被积函数无界的反常积分不一定可积，也不一定能交换顺序
本课程不涉及

例子

  • 设是由三坐标平面以及围成
    计算在上的积分



例子








练习

利用三重积分计算以下椭球体的体积

Jacobian（雅可比式）

  • 设
    的偏导都存在且连续

  • 是映射的雅可比矩阵

  • 称为该映射的雅可比式

练习

计算的雅可比式

换元的前提条件

  • 设是有界闭区域上的实值连续函数

  • 的偏导都存在且连续

  • 设的映射是单射

  • 设

换元

换元：柱坐标转换

例子

  • 计算，其中是与所围成的区域

  • , ,


练习

是与所围成的区域，计算

解答

  • 将分为, ，其中是与所围成的区域,是与所围成的区域



小结

  • 三重积分的定义和性质

  • 三重积分的计算

  • 三重积分的换元和柱坐标转换