3.1 二重积分

高等数学 A2



周维祺

引入：一元函数的定积分

二重积分

设定

  • 令为平面上一有界闭区域

  • 设, 其中是一矩形，考虑：



  • 记为中的小矩形

  • 若，则记，并记其面积为, 直径为

设定

  • 设有定义在有界闭区域上的二元连续函数

  • 在中任取一点，记

  • 则是以为底，为高的柱体体积

  • 令

二重积分的定义

若且时，有极限

且该极限与的选取均无关

则称为在上的二重积分，记作

练习

  • 考虑函数，其中

  • 令 , 其中
    令，记为的面积

  • 分别计算以及时
    的值，并计算时的极限

练习

证明在上例中，只要，则都收敛到同一极限

二重积分的性质:线性性

二重积分的性质:对于积分区域的可加性

二重积分的性质:一些不等式

的面积

二重积分的性质:中值定理

设在有界闭区域上连续，是的面积
则存在，使得

中值定理的证明

  • 在有界闭区域上连续在上有最大、最小值



  • 在中

  • 由介值性得存在，使

小结

  • 二重积分的定义

  • 二重积分的线性性、积分区域的可加性

  • 一些常用不等式

  • 二重积分的中值定理