求$z=f(x,y)$在约束条件$\varphi(x,y)=0$下的极值

例：求周长一定的矩形面积的最大值

设矩形边长$x,y$，周长固定为$2a$

$f(x,y)=xy, \varphi(x,y)=x+y-a$

设$(x_0,y_0)$是$z=f(x,y)$在条件$\varphi(x,y)=0$下的极值点

设梯度存在且不为$0$，则求解以下方程得$x_0,y_0$：
$\begin{cases}\nabla f(x_0,y_0)=\lambda\nabla \varphi(x_0,y_0) \\\varphi(x_0,y_0)=0 \end{cases}$

$\nabla f(x_0,y_0)=\lambda\nabla \varphi(x_0,y_0)$ 即 $\begin{cases}f_x(x_0,y_0)=\lambda\varphi_x(x_0,y_0) \\ f_y(x_0,y_0)=\lambda\varphi_y(x_0,y_0) \end{cases}$

设矩形边长$x,y$，周长固定为$2a$，求其面积的最大值

$f(x,y)=xy, \varphi(x,y)=x+y-a$

$\begin{cases}(y,x)=\lambda(1,1) \\ x+y-a=0 \end{cases}\quad \Rightarrow\quad x=y=\lambda=a/2$

验证该点是最大值点

在条件$x^2+y^2=1$下分别求:

$f(x,y)=x+y$ 的所有极值点

$g(x,y)=(x+y)^2$的所有极值点

求$z=f(x,y)$在约束条件$\varphi(x,y)=0$下的极值

构造函数$L(x,y,\lambda)=f(x,y)\pm\lambda\varphi(x,y)$

极值点满足：$L_x(x,y,\lambda)=L_y(x,y,\lambda)=L_{\lambda}(x,y,\lambda)=0$