2.11 多元函数的极值

高等数学 A2



周维祺

引入：一元函数的极值和最值

多元函数的极值

  • 设是的定义域，是的内点

  • 若对某邻域中的任意点均有 ，则称是的一个极大值点

  • 若对某邻域中的任意点均有 ，则称是的一个极小值点

极值是局部性质

极值点比附近的点大（或小）

极值点的偏导数

  • 设偏导存在：

  • 若是极大(小)值点，则分子总小于（大于）

  • 取分母或时极限应相等，因此

  • 同理

驻点

若在处的偏导存在且都为，则称是的驻点。

若极值点处偏导存在，则极值点是驻点，但驻点不一定是极值点

例：是的驻点，但不是其极值点

二阶偏导可帮助识别驻点是否是极值点

（解题技巧：在驻点附近取一些特值作比较）

二阶偏导法

  • 设是的驻点，且在的某邻域上有连续一、二阶偏导

  • 记

  • 时是极值，且时有极小值，时有极大值

  • 时非极值（鞍点），时无结论

偏导不存在，也可以是极值点

例：在处 (思考：为什么)

例子和练习

运用二阶偏导法找出以下函数的极值点

解答





  • 由解得或，依次代入

  • 得驻点，，，

解答



  • 驻点，，，

解答



解答

  • 判别式：

  • 驻点，，，；

  • 对: 判别式， 极大值

  • 对和：判别式 是鞍点

解答



  • 判别式：

  • 驻点判别式，鞍点，极大值点；

  • ，在附近可异号是鞍点

小结

  • 极值的定义和其局部性

  • 驻点的定义，极值与驻点的关系

  • 鞍点的概念

  • 用二阶偏导判断驻点的类别