质点运动轨迹

• 平面曲线的参数方程 $t\mapsto\left(x(t),y(t)\right)$
  
  

• 空间曲线的参数方程 $t\mapsto\left(x(t),y(t),z(t)\right)$

一元向量值函数的极限

• 设有$f(t): \mathbb R\to\mathbb R^m$，$t^*$是$f$定义域中的一个聚点，$\vec x^*\in\mathbb R^m$
  
  

• 若对$\forall \epsilon>0$，都$\exists\delta>0$，使得
  
  

• 只要$|t-t^*|<\delta$，就有$\|f(t)-\vec x^*\|<\epsilon$
  
  

• 则称$\vec x^*$是$f(t)$在$t\to t^*$时的极限

一元向量值函数的连续性

• 设有$f(t): \mathbb R\to\mathbb R^m$，$t^*$是f定义域中的一个聚点
  
  

• 若$t\to t^*$时，$f(t)\to f(t^*)$，则称$f$在$t^*$处连续
  
  

• 若$f$在点集$E$中的每个点处都连续，则称$f$在$E$上连续

一元向量值函数的连续性

• 设 $f(t)=(f_1(t),\ldots,f_m(t))$
  
  
• $\|f(t)-f(t^*)\|=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^m\left|f_k(t)-f_k(t^*)\right|^2}$
  
  
• $\|f(t)-f(t^*)\|\to0\quad\Leftrightarrow\quad|f_k(t)-f_k(t^*)|\to0$

一元向量值函数的导数

设有$f(t): \mathbb R\to\mathbb R^m$,若下式有极限

则称该极限是$f$在$t_0$处的导函数（导向量），记作$f'(t_0)$，或$\frac{df}{dt}(t_0)$

一元向量值函数导数的运算法则

• 设 $f(t)=(f_1(t),\ldots,f_m(t))$, 显然$f'(t)=(f_1'(t),\ldots,f_m'(t))$
  
  

• 若$u(t),v(t):\mathbb R\to\mathbb R^m$，$c\in\mathbb R$，则
  $(u+v)'(t)=u'(t)+v'(t)$
  $(cu)'(t)=cu'(t)$
  
  

• 求导是线性运算

练习

• 设 $f(t):\mathbb R\to\mathbb R^m$, $\quad\varphi(t):\mathbb R\to\mathbb R$, $\quad g(t)=f\left(\varphi(t)\right)$
  
  

• 验证以下法则：
  
  

• $(\varphi f)'(t)=\varphi'(t)f(t)+\varphi(t)f'(t)$
  
  

• $g'(t)=f'(\varphi(t))\varphi'(t)$

练习

• 设 $u(t),v(t):\mathbb R\to\mathbb R^m$
  
  

• 验证以下法则：
  
  

• $(u\cdot v)'(t)=u'(t)\cdot v(t)+u(t)\cdot v'(t)$

练习

• 设 $u(t),v(t):\mathbb R\to\mathbb R^3$
  
  

• 验证以下法则：
  
  

• $(u\times v)'(t)=u'(t)\times v(t)+u(t)\times v'(t)$

例子和解答

• 设 $u(t)=(u_1(t),u_2(t),u_3(t))$，$v(t)=(v_1(t),v_2(t),v_3(t))$
  
  

• 令$\vec e_1=(1,0,0)$,$\quad \vec e_2=(0,1,0)$,$\quad\vec e_3=(0,0,1)$
  
  

• 则
  $u(t)=u_1(t)\vec e_1+u_2(t)\vec e_2+u_3(t)\vec e_3$
  $v(t)=v_1(t)\vec e_1+v_2(t)\vec e_2+v_3(t)\vec e_3$

例子和解答

• $(u\times v)(t)=\sum\limits_{j,k=1}^3u_j(t)v_k(t)\vec e_j\times \vec e_k$
  
  

• $(u\times v)'(t)=\sum\limits_{j,k=1}^3\left(u_j'(t)v_k(t)+u_j(t)v_k'(t)\right)\vec e_j\times \vec e_k$
  
  

• 上式等号右侧$=u'(t)\times v(t)+u(t)\times v'(t)$

例子和解答

若$\odot$是连续双线性运算，则求导满足乘法法则

小结

• 一元向量值函数的概念
  
  

• 一元向量值函数的极限和连续性
  
  

• 一元向量值函数的导数和求导法则