2.9 一元向量值函数

高等数学 A2



周维祺

一元向量值函数: R→Rm\mathbb R\to\mathbb R^m

m>1m>1
（本节中大多数情况下只考虑m=2、3m=2、3）

一元向量值函数: R→Rm\mathbb R\to\mathbb R^m

m>1m>1
（本节中大多数情况下只考虑m=2、3m=2、3）

质点运动轨迹

  • 平面曲线的参数方程 t↦(x(t),y(t))t\mapsto\left(x(t),y(t)\right)

  • 空间曲线的参数方程 t↦(x(t),y(t),z(t))t\mapsto\left(x(t),y(t),z(t)\right)

一些例子

一元向量值函数的极限

  • 设有f(t):R→Rmf(t): \mathbb R\to\mathbb R^m，t∗t^*是ff定义域中的一个聚点，x⃗∗∈Rm\vec x^*\in\mathbb R^m

  • 若对∀ϵ>0\forall \epsilon>0，都∃δ>0\exists\delta>0，使得

  • 只要∣t−t∗∣<δ|t-t^*|<\delta，就有∥f(t)−x⃗∗∥<ϵ\|f(t)-\vec x^*\|<\epsilon

  • 则称x⃗∗\vec x^*是f(t)f(t)在t→t∗t\to t^*时的极限

x⃗∗\vec x^*是f(t)f(t)在t→t∗t\to t^*时的极限

⇔\Leftrightarrow

任取ff定义域中的点列tnt_n，若tn→t∗t_n\to t^*，则∥f(tn)−x⃗∗∥→0\|f(t_n)-\vec x^*\|\to0

一元向量值函数的连续性

  • 设有f(t):R→Rmf(t): \mathbb R\to\mathbb R^m，t∗t^*是f定义域中的一个聚点

  • 若t→t∗t\to t^*时，f(t)→f(t∗)f(t)\to f(t^*)，则称ff在t∗t^*处连续

  • 若ff在点集EE中的每个点处都连续，则称ff在EE上连续

一元向量值函数的连续性

  • 设 f(t)=(f1(t),…,fm(t))f(t)=(f_1(t),\ldots,f_m(t))

  • ∥f(t)−f(t∗)∥=∑k=1m∣fk(t)−fk(t∗)∣2\|f(t)-f(t^*)\|=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^m\left|f_k(t)-f_k(t^*)\right|^2}

  • ∥f(t)−f(t∗)∥→0⇔∣fk(t)−fk(t∗)∣→0\|f(t)-f(t^*)\|\to0\quad\Leftrightarrow\quad|f_k(t)-f_k(t^*)|\to0

ff连续，当且仅当其各分量fkf_k连续

f(t)→f(t∗)f(t)\to f(t^*), 当且仅当其各分量fk(t)→fk(t∗)f_k(t)\to f_k(t^*)

一元向量值函数的导数

设有f(t):R→Rmf(t): \mathbb R\to\mathbb R^m,若下式有极限

lim⁡Δt→0f(t0+Δt)−f(t0)Δt\lim\limits_{\Delta t\to0}\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t}

则称该极限是ff在t0t_0处的导函数（导向量），记作f′(t0)f'(t_0)，或dfdt(t0)\frac{df}{dt}(t_0)

一元向量值函数导数的运算法则

  • 设 f(t)=(f1(t),…,fm(t))f(t)=(f_1(t),\ldots,f_m(t)), 显然f′(t)=(f1′(t),…,fm′(t))f'(t)=(f_1'(t),\ldots,f_m'(t))

  • 若u(t),v(t):R→Rmu(t),v(t):\mathbb R\to\mathbb R^m，c∈Rc\in\mathbb R，则
    (u+v)′(t)=u′(t)+v′(t)(u+v)'(t)=u'(t)+v'(t)
    (cu)′(t)=cu′(t)(cu)'(t)=cu'(t)

  • 求导是线性运算

练习

  • 设 f(t):R→Rmf(t):\mathbb R\to\mathbb R^m, φ(t):R→R\quad\varphi(t):\mathbb R\to\mathbb R, g(t)=f(φ(t))\quad g(t)=f\left(\varphi(t)\right)

  • 验证以下法则：

  • (φf)′(t)=φ′(t)f(t)+φ(t)f′(t)(\varphi f)'(t)=\varphi'(t)f(t)+\varphi(t)f'(t)

  • g′(t)=f′(φ(t))φ′(t)g'(t)=f'(\varphi(t))\varphi'(t)

练习

  • 设 u(t),v(t):R→Rmu(t),v(t):\mathbb R\to\mathbb R^m

  • 验证以下法则：

  • (u⋅v)′(t)=u′(t)⋅v(t)+u(t)⋅v′(t)(u\cdot v)'(t)=u'(t)\cdot v(t)+u(t)\cdot v'(t)

练习

  • 设 u(t),v(t):R→R3u(t),v(t):\mathbb R\to\mathbb R^3

  • 验证以下法则：

  • (u×v)′(t)=u′(t)×v(t)+u(t)×v′(t)(u\times v)'(t)=u'(t)\times v(t)+u(t)\times v'(t)

例子和解答

  • 设 u(t)=(u1(t),u2(t),u3(t))u(t)=(u_1(t),u_2(t),u_3(t))，v(t)=(v1(t),v2(t),v3(t))v(t)=(v_1(t),v_2(t),v_3(t))

  • 令e⃗1=(1,0,0)\vec e_1=(1,0,0),e⃗2=(0,1,0)\quad \vec e_2=(0,1,0),e⃗3=(0,0,1)\quad\vec e_3=(0,0,1)

  • 则
    u(t)=u1(t)e⃗1+u2(t)e⃗2+u3(t)e⃗3u(t)=u_1(t)\vec e_1+u_2(t)\vec e_2+u_3(t)\vec e_3
    v(t)=v1(t)e⃗1+v2(t)e⃗2+v3(t)e⃗3v(t)=v_1(t)\vec e_1+v_2(t)\vec e_2+v_3(t)\vec e_3

例子和解答

  • (u×v)(t)=∑j,k=13uj(t)vk(t)e⃗j×e⃗k(u\times v)(t)=\sum\limits_{j,k=1}^3u_j(t)v_k(t)\vec e_j\times \vec e_k

  • (u×v)′(t)=∑j,k=13(uj′(t)vk(t)+uj(t)vk′(t))e⃗j×e⃗k(u\times v)'(t)=\sum\limits_{j,k=1}^3\left(u_j'(t)v_k(t)+u_j(t)v_k'(t)\right)\vec e_j\times \vec e_k

  • 上式等号右侧=u′(t)×v(t)+u(t)×v′(t)=u'(t)\times v(t)+u(t)\times v'(t)

例子和解答

若⊙\odot是连续双线性运算，则求导满足乘法法则

(u⊙v)′=lim⁡Δt→0u(t+Δt)⊙v(t+Δt)−u(t)⊙v(t)Δt(u\odot v)'=\lim_{\Delta t\to0}\frac{u(t+\Delta t)\odot v(t+\Delta t)-u(t)\odot v(t)}{\Delta t}

=lim⁡Δt→0u(t+Δt)⊙v(t+Δt)−u(t+Δt)⊙v(t)+u(t+Δt)⊙v(t)−u(t)⊙v(t)Δt=\lim_{\Delta t\to0}\frac{u(t+\Delta t)\odot v(t+\Delta t)-u(t+\Delta t)\odot v(t)+u(t+\Delta t)\odot v(t)-u(t)\odot v(t)}{\Delta t}

=lim⁡Δt→0u(t+Δt)⊙v(t+Δt)−v(t)Δt+u(t+Δt)−u(t)Δt⊙v(t)=\lim_{\Delta t\to0}u(t+\Delta t)\odot\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}+\frac{u(t+\Delta t)-u(t)}{\Delta t}\odot v(t)

=u(t)⊙v′(t)+u′(t)⊙v(t)=u(t)\odot v'(t)+u'(t)\odot v(t)

小结

  • 一元向量值函数的概念

  • 一元向量值函数的极限和连续性

  • 一元向量值函数的导数和求导法则