高等数学 A2 周维祺
设f(x,y)f(x,y)f(x,y)在(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)处具有连续的偏导数
定义其梯度为向量 (fx(x0,y0),fy(x0,y0))\left(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)\right)(fx(x0,y0),fy(x0,y0))
记作∇f\nabla f∇f或gradf\mathrm{grad} fgradf
给定单位向量v⃗=(a,b)\vec v=(a,b)v=(a,b)，考虑过(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)且与(a,b)(a,b)(a,b)同向的射线ℓ\ellℓ
方向导数：∂f∂ℓ(x0,y0)=fx(x0,y0)a+fy(x0,y0)b=∇f⋅v⃗\frac{\partial f}{\partial \ell}(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)a+f_y(x_0,y_0)b=\nabla f\cdot\vec v∂ℓ∂f(x0,y0)=fx(x0,y0)a+fy(x0,y0)b=∇f⋅v
显然v⃗\vec vv与∇f\nabla f∇f同向时上述值最大，且为∥∇f∥=fx2+fy2\|\nabla f\|=\sqrt{f_x^2+f_y^2}∥∇f∥=fx2+fy2
显然v⃗\vec vv与∇f\nabla f∇f反向时上述值最小，且为−∥∇f∥=−fx2+fy2-\|\nabla f\|=-\sqrt{f_x^2+f_y^2}−∥∇f∥=−fx2+fy2
设u,v:R2→Ru,v:\mathbb R^2\to\mathbb Ru,v:R2→R的各偏导数都存在且连续，c∈Rc\in\mathbb Rc∈R是一常数
证明梯度的以下运算法则：
∇(cu)=c∇u\nabla(cu)=c\nabla u∇(cu)=c∇u
∇(u+v)=∇u+∇v\nabla(u+v)=\nabla u+\nabla v∇(u+v)=∇u+∇v
∇(uv)=u∇v+v∇u\nabla(uv)=u\nabla v+v\nabla u∇(uv)=u∇v+v∇u
∇(uv)=v∇u−u∇vv2\nabla(\frac{u}{v})=\frac{v\nabla u-u\nabla v}{v^2}∇(vu)=v2v∇u−u∇v
用平面z=cz=cz=c截曲面z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)得一曲线
将这一曲线f(x,y)=cf(x,y)=cf(x,y)=c投影（画）在xyxyxy平面上
当ccc变化时，得到一族曲线，称为z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)的等值线
例子：等高线
梯度存在，要求函数可微 若梯度不为零，则其垂直于等值线的切线
设z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)的全微分存在，记v=(Δx,Δy)v=(\Delta x, \Delta y)v=(Δx,Δy)
f(x+Δx,y+Δy)≈f(x,y)+∇f⋅vf(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+\nabla f\cdot vf(x+Δx,y+Δy)≈f(x,y)+∇f⋅v
若vvv是等值线切线的方向，则在vvv的方向上fff的值无变化
∇f⋅v=0\nabla f\cdot v=0∇f⋅v=0, 即∇f=0\nabla f=0∇f=0或∇f⊥v\nabla f\perp v∇f⊥v
给定a,b>0a,b>0a,b>0和椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1a2x2+b2y2=1
求各点处的切线斜率
求z=x2a2+y2b2z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}z=a2x2+b2y2在各点处的梯度
验证上述梯度与切线方向垂直
设f:Rn→Rf:\mathbb R^n\to\mathbb Rf:Rn→R在x⃗∗=(x1∗,…,xn∗)\vec x^*=(x_1^*,\ldots,x_n^*)x∗=(x1∗,…,xn∗)处具有连续的偏导数
定义其梯度为向量 (fx1(x⃗∗),…,fxn(x⃗∗))\left(f_{x_1}(\vec x^*),\ldots,f_{x_n}(\vec x^*)\right)(fx1(x∗),…,fxn(x∗)), 记作∇f\nabla f∇f或gradf\mathrm{grad} fgradf
单位向量v⃗∈Rn\vec v\in\mathbb R^nv∈Rn方向上的方向导数是∇f⋅v⃗\nabla f\cdot\vec v∇f⋅v
梯度刻画了函数变化最快的方向和变化率，非零梯度垂直于等值线