2.7 多元函数的方向导数

高等数学 A2



周维祺

引入：定义方向导数的动机

方向导数的定义

  • 设在的某个邻域上有定义

  • 给定单位向量,

  • 考虑过且与同向的射线

方向导数的定义

若以下单侧极限存在，则称其为在处沿的方向导数：

例子

  • 求在处沿的方向导数



  • (练习)

例子

  • 若在处对的偏导数都存在，则

  • 取的方向为：


  • 取的方向为：

练习

  • 给定

  • 在处分别求沿和的方向导数

  • 在处的偏导是否存在？存在则计算其值，不存在则说明理由

偏导存在 沿和的方向导数存在，反之不一定成立

方向导数的定义中使用的是单侧极限

全微分存在各方向导数都存在

若在处的全微分存在，则在该点处沿任意方向的方向导数都存在。若过，且方向为，其中，则

  • a,b称为方向余弦

  • 偏导存在且偏导连续全微分存在









例子

  • 求在处沿的方向导数



  • 方向导数

  • 与上例中直接计算所得的结果相同

一般情况

  • 设在的某个邻域上有定义

  • 给定单位向量,

  • 考虑过且与同向的射线

  • 在处沿的方向导数:

小结

  • 方向导数的动机、概念、定义

  • 方向导数的计算

  • 方向导数与偏导数、全微分的联系和区别

  • 元函数的方向导数