2.6 多元隐函数的求导法则

高等数学 A2



周维祺

引入：隐函数求导

  • 隐函数: 函数关系y=f(x)y=f(x)以F(x,y)=0F(x,y)=0的形式出现

  • 例子：xy−1=0xy-1=0

  • 对xx求导: y+xy′=0y+xy'=0, 即y′=−y/xy'=-y/x

利用多元函数的链式法则对隐函数求导

  • 隐函数: 函数关系y=f(x)y=f(x)以F(x,y)=0F(x,y)=0的形式出现

  • 对F(x,f(x))=0F(x,f(x))=0利用复合函数的求导法则两边对xx求导

  • 得 Fx+Fyf′(x)=0F_x+F_yf'(x)=0, 若Fy≠0F_y\neq0, 则有 f′(x)=−Fx/Fyf'(x)=-F_x/F_y

曲线F(x,y)=0F(x,y)=0并不总能写成函数y=f(x)y=f(x)的形式

例子：F(x,y)=x2+y2−1F(x,y)=x^2+y^2-1

隐函数存在定理1

  • 设F(x,y)F(x,y)在(x0,y0)(x_0,y_0)的某邻域有连续偏导

  • 设F(x0,y0)=0F(x_0,y_0)=0，Fy(x0,y0)≠0F_y(x_0,y_0)\neq0

  • 则(x0,y0)(x_0,y_0)附近存在一邻域EE, 使得在EE上有y=f(x)y=f(x)

曲线在(x0,y0)(x_0,y_0)处的切线不平行于yy轴

Fy(x0,y0)≠0⇒F_y(x_0,y_0)\neq0\Rightarrow切线相对于y轴的斜率不为00

例子：F(x,y)=x2+y2−1F(x,y)=x^2+y^2-1

  • 在(1,0)(1,0)和(−1,0)(-1,0)处，切线平行于yy轴

  • 在这两点附近，每个xx值对应2个yy值，无法写成y=f(x)y=f(x)的形式

练习

给定x2+y2−2=0x^2+y^2-2=0，利用链式法则求(1,1)(1,1)处yy对于xx的导数

解答

  • Fx=2xF_x=2x, Fy=2yF_y=2y, 且Fy(1,1)≠0F_y(1,1)\neq0

  • y′(x)=−Fx/Fy=−x/yy'(x)=-F_x/F_y=-x/y

  • y′(1)=−1y'(1)=-1

三维的情况

  • 隐函数: 函数关系z=f(x,y)z=f(x,y)以F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0的形式出现

  • 对F(x,y,z(x,y))=0F(x,y,z(x,y))=0利用复合函数的求导法则两边对x,yx,y求偏导

  • 对xx得：Fx+Fzzx=0F_x+F_zz_x=0, 若Fz≠0F_z\neq0, 则有 zx=−Fx/Fzz_x=-F_x/F_z

  • 对yy得：Fy+Fzzy=0F_y+F_zz_y=0, 若Fz≠0F_z\neq0, 则有 zy=−Fy/Fzz_y=-F_y/F_z

隐函数存在定理2

  • 设F(x,y,z)F(x,y,z)在(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)的某邻域有连续偏导

  • 设F(x0,y0,z0)=0F(x_0,y_0,z_0)=0，Fz(x0,y0,z0)≠0F_z(x_0,y_0,z_0)\neq0

  • 则(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)附近存在一邻域EE, 使得在EE上有z=f(x,y)z=f(x,y)

练习

给定x2+y2+z2−3=0x^2+y^2+z^2-3=0，求(1,1,1)(1,1,1)处zz对于x,yx,y的偏导数

解答

  • Fx=2xF_x=2x, Fy=2yF_y=2y, Fz=2zF_z=2z, 且Fz(1,1,1)≠0F_z(1,1,1)\neq0

  • zx=−Fx/Fz=−x/zz_x=-F_x/F_z=-x/z, zy=−Fy/Fz=−y/zz_y=-F_y/F_z=-y/z

  • zx(1,1)=zy(1,1)=−1z_x(1,1)=z_y(1,1)=-1

方程组的情形

  • {u=f(x,y)v=g(x,y)\begin{cases}u=f(x,y)\\ v=g(x,y)\end{cases}以{F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{cases}的形式出现

  • 对此方程组利用复合函数的求导法则两边对x,yx,y求偏导

  • 对xx得：{Fx+Fuux+Fvvx=0Gx+Guux+Gvvx=0\begin{cases}F_x+F_uu_x+F_vv_x=0 \\ G_x+G_uu_x+G_vv_x=0 \end{cases}

  • 视作关于ux,vxu_x, v_x的方程组求解，同理可求uy,vyu_y, v_y

方程组的情形

  • (x,y)→(u,v)(x,y)\to(u,v)可以视作是R2→R2\mathbb R^2\to\mathbb R^2的映射

  • Rn→R\mathbb R^n\to\mathbb R函数有偏导数，此处类似地有偏导数组成的Jacobian矩阵：
    J=(uxuyvxvy)J=\begin{pmatrix}u_x & u_y \\ v_x & v_y\end{pmatrix}

  • 类似地，JJ可逆(即行列式∣J∣≠0|J|\neq0)则隐函数存在

小结

  • 利用多元函数的链式法则计算隐函数的偏导

  • 理解隐函数存在定理