2.4 全微分

高等数学 A2



周维祺

引入：一元函数的微分

一元函数的微分

  • 在附近的增量可以表示为(只与有关)


  • 其中，令 得微分


二元函数的全微分

  • 若在的某个邻域上的增量可以表示为


  • 其中
    且只与有关

  • 则称在处可微分，称

    为在处的全微分

全微分～局部约为线性～局部约为平面

某点处的全微分存在在该点连续

显然时，有

全微分与偏导数的关系



  • 取，得


全微分与偏导数的关系



  • 取，得


全微分

练习

  • 计算 的全微分

  • 计算 在处的全微分

偏导数存在，全微分不一定存在

  • 在处，对、的偏导数都存在，但全微分不存在

  • 因在处不连续

若偏导数存在且偏导数连续，则全微分也存在

证明的主要步骤

  • 设在处对的偏导数都存在

  • 考虑

证明的主要步骤



  • 运用中值定理（其中）：


  • 利用偏导数作为多元函数的连续性：(思考：为什么)

    其中,若

证明的主要步骤



  • 运用中值定理（其中）：


  • 利用偏导数的连续性：

    其中,若

证明的主要步骤

  • 综上，得：


  • 显然： （思考：为什么）

  • 因此

全微分、偏导数、函数连续性的关系

  • 全微分存在 函数连续、偏导数存在

  • 偏导数存在 函数连续、全微分存在

  • 偏导数存在、且偏导数连续 函数连续、全微分存在

练习

  • 考虑

  • 计算时对各自的偏导数

  • 计算处对各自的偏导数，在该处各偏导数是否连续？

  • 利用定义验证处的全微分是否存在，若存在，计算其值

全微分、偏导数、连续性的关系

全微分存在 函数连续、偏导数存在但不一定连续


偏导数存在 函数连续、全微分存在


偏导数存在、且偏导数连续 函数连续、全微分存在

多元函数的全微分

定义及其几何含义与二元的情形完全类似

小结

  • 全微分的定义和计算

  • 全微分、偏导数、函数连续性、偏导数连续性间的关系（重要！)