2.3 偏导数

高等数学 A2



周维祺

定义和记号

设在的邻域上有定义，若下式有极限，则将该极限称为在处对变量的偏导数：

对于变量的偏导数可以记作，或

定义和记号

类似地，设在的邻域上有定义，若下式有极限，则将该极限称为在处对变量的偏导数：

对于变量的偏导数可以记作，或

定义和记号

一般地，设多元函数：在的邻域上有定义，若下式有极限，则将该极限称为在处对变量的偏导数：

对于变量的偏导数可以记作，或

偏导数

固定其它变量（看作常量），对某个变量求导

例子

  • 求对各自的偏导数在处的值





  • ,

练习

给定函数

(1) 求在时对各自的偏导

(2) 求出在处对的偏导数

(3) 求出在处对的偏导数

偏导数存在 连续

在处对的偏导数都存在，只能说明当沿平行于轴或轴的方向趋近于时的极限存在，而不能说明沿所有方向趋近于时的极限都存在

函数的偏导数之几何意义

  • ，: 平面与曲面所得曲线在处切线在坐标下相对于轴的斜率

  • ，: 平面与曲面所得曲线在处切线在坐标下相对于轴的斜率

高阶偏导

也记作

也记作

也记作

也记作

高阶偏导亦称混合偏导

一般地，给定多元函数：，我们用或表示按的顺序依次对求偏导

例子



  • ,

  • ,

  • ,

练习

给定函数

(1) 求在时对各自的偏导

(2) 求出上述偏导数在时的表达式

(3) 求出上述偏导数在时的表达式

练习

给定函数

(4) 求时的二阶偏导在时的极限

(5) 求时的二阶偏导在时的极限

(6) 与是否相等，为什么？

高阶偏导连续可以交换求偏导的顺序

若与在的某邻域上连续，则在该处与相等

练习

给定

计算

拉普拉斯算子

称为拉普拉斯方程，满足该方程的函数称为调和函数

小结

  • 偏导数的定义和计算、几何意义

  • 偏导数存在不一定连续

  • 高阶（混合）偏导数的定义和计算

  • 高阶偏导数连续才能交换顺序

  • 拉普拉斯算子、拉普拉斯方程、调和函数的概念