多元函数的极限

考虑点集上的多元函数, 设是的一个聚点

若存在,从而, 使得

则称是在时的极限，记作

或

例子

求 在时的极限

给定任意, 取，则只要 ,

就有

因此时，的极限为.

例子和练习

给定

（1）求沿直线趋近于时的极限

（2）求趋近于时是否有极限

连续函数

• 是多元函数定义域的聚点
  
  
• 当时,
  
  
• 若满足上述条件，则称在处连续
  
  
• 若在点集的每个点上都连续，则称在上连续

例子和练习

例子：多项式函数是连续函数

练习：判断以下函数在上是否连续

连续函数的性质

• 连续函数在有界闭区域上有最大和最小值
  
  
• 连续函数在有界闭区域上能取到最大和最小值之间的任何值
  
  
• 拓展阅读：一致连续和连续函数在有界闭区域上的一致连续性

小结

• 多元点列极限的概念和计算
  
  
• 多元函数极限的概念和计算
  
  
• 多元函数连续性的概念和判断
  
  
• 多元连续函数的最值和介值性