2.1 点集拓扑的一些基本常识

高等数学 A2



周维祺

点PP的rr邻域和去心rr邻域

U(P,r)={Q:∥PQ⃗∥<r}U(P, r)=\{Q: \|\vec{PQ}\|<r\}

U~(P,r)={Q:0<∥PQ⃗∥<r}\tilde U(P, r)=\{Q: 0<\|\vec{PQ}\|<r\}

点和点集的关系

  • 点PP是点集EE的内点: 存在rr, 使PP的邻域U(P,r)⊂EU(P,r)\subset E

  • 点PP是点集EE的外点: 存在rr, 使PP的邻域U(P,r)∩E=∅U(P,r)\cap E=\emptyset

  • 点PP是点集EE的边界: PP的任意邻域U(P,r)U(P,r)中既有属于EE的点，也有不属于EE的点

练习：0,1/2,1,3/2,20,1/2,1,3/2,2是{0}∪[1,2]\{0\}\cup[1,2]的 (A)内点(B)外点(C)边界点


点列的极限

称Rn\mathbb R^n中的一列点Pk→PP_k\to P，若∥PkP⃗∥→0\|\vec{P_kP}\|\to0

称点PP是点集EE的聚点

给定点集EE，若对∀r>0\forall r>0，点PP的去心邻域U~(P,r)∩E≠∅\tilde U(P,r)\cap E\neq\empty总成立

PP是EE的聚点⇔\quad\Leftrightarrow\quadE∖{P}E\setminus\{P\}中存在点列Pk→PP_k\to P

练习：哪些点是{0}∪[1,2]\{0\}\cup[1,2]的聚点 (A) 00 (B) 1/21/2 (C) 11 (D) 3/23/2 (E) 22


集合的一些拓扑分类

  • EE是开集：EE中所有的点都是内点

  • EE是闭集：EE包含自己的所有边界点

集合的一些拓扑分类

  • EE是连通集：∀P,Q∈E\forall P,Q\in E, 存在连接P,Q的曲线S⊂ES\subset E

  • EE是(开)区域：EE是连通的开集

  • EE是闭区域：EE是连通的闭集

集合的一些拓扑分类

  • EE是有界集：EE在原点的某个rr邻域中

  • EE是无界集：EE不是有界集

练习

  • 指出以下集合中的开集、闭集、连通集、有界集

  • {(x,y):0<x2+y2<1}\{(x,y): 0<x^2+y^2<1\}

  • {(x,y):0≤x2+y2}\{(x,y): 0\le x^2+y^2\}

  • {(x,y):0≤x2+y2<1}\{(x,y): 0\le x^2+y^2<1\}

一个集合可以是：开集、闭集、既不是开集也不闭集、既是开集也是闭集

小结

  • 由距离诱导的邻域

  • 内点、外点、边界、聚点

  • 开集和闭集

  • 连通、有界