1.7 三维空间中的曲线

高等数学 A2



周维祺

引入：R2\mathbb R^2中的曲线

R2\mathbb R^2中曲线的方程

  • 标准方程：F(x,y)=0F(x,y)=0

  • 参数方程：{x=x(t)y=y(t)\begin{cases}x=x(t) \\ y=y(t)\end{cases} (质点运动)

  • 极坐标下的方程

练习

将极坐标下的方程r=θr=\theta改写为直角坐标下的标准方程和参数方程

R3\mathbb R^3中曲线的方程

  • 曲面的交线：{F(x,y,z)=0F′(x,y,z)=0\begin{cases}F(x,y,z)=0 \\ F'(x,y,z)=0\end{cases}

  • 参数方程：{x=x(t)y=y(t)z=z(t)\begin{cases}x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t)\end{cases} (质点运动)

  • 球坐标和柱坐标下的方程

R3\mathbb R^3中曲线在坐标平面上的投影

  • 给定曲线SS： {F(x,y,z)=0F′(x,y,z)=0\begin{cases}F(x,y,z)=0 \\ F'(x,y,z)=0\end{cases}

  • 消去变量zz得H(x,y)=0H(x,y)=0

  • 与z=0z=0联立即SS在xyxy平面的投影

练习

分别求曲线{x2+y2+z2=1x+y+z=1\begin{cases}x^2+y^2+z^2=1 \\ x+y+z=1\end{cases}在三个坐标平面上的投影

小结

  • 平面曲线的标准和参数方程

  • 坐标转换

  • 空间曲线的概念和参数方程

  • 空间曲线在坐标平面上的投影