1.6 二次曲面及其分类

高等数学 A2



周维祺

引入:中的曲面

中曲面的方程

  • 标准方程:

  • 参数方程:

  • 球坐标和柱坐标下的方程

练习

的球坐标和柱坐标

二次曲面的分类

椭球面

单叶双曲面

双叶双曲面

椭圆和双曲抛物面

二次曲面可以借助不变量、通过坐标变换转化上述标准形式

几种特殊的曲面

柱面

平行于给定方向且与一条定曲线相交的一族直线
例:圆柱面

锥面

过定点且与一条定曲线相交的一族直线
例:圆锥面

旋转曲面

绕定直线旋转的一条曲线
例:圆锥面

绕坐标轴旋转的公式

  • 设有平面中的一条曲线

  • 轴旋转:

  • 轴旋转:

练习

求双曲线分别绕轴和轴旋转所形成的曲面

小结

  • 坐标转换的计算

  • 三种二次曲面(椭球、双曲、抛物)及其标准方程

  • 几种特殊二次曲面(柱面、锥面、旋转)及定义

  • 绕坐标轴旋转形成的曲面